funciones características - Probabilidad

Question

¿Cómo encontrar la función característica de una variable aleatoria real si sé que su función de distribución es singular pero no es discreta? Por ejemplo, cómo encontrar la función característica de una variable aleatoria con función de distribución:

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0&,x<-3 \\ 1/3&,-3\leq x<2 \\ 1&,2\leq x \end{matrix}\right.$

Answer 1

La función característica viene dada por $$ \varphi_X(t)=\operatorname Ee^{itX}. $$ En este caso, $$ \varphi_X(t)=\frac13e^{-3it}+\frac23e^{2it} $$ ya que la variable aleatoria $X$ correspondiente a la función de distribución $F$ toma dos valores $-3$ y $2$ con probabilidades $\Pr\{X=-3\}=\frac13$ y $\Pr\{X=2\}=\frac23$ .