Sea $f:K \rightarrow K$ sea una transformación lineal definida como $f(x) = a\cdot x$ donde $a\in K$ y $K$ es una extensión de campo de $F$ . Sea $A$ sea la matriz que representa la transformación obtenemos (donde $I$ es la matriz identidad):
$Ak = a\cdot k = a\cdot Ik$ para todos $k\in K$ por lo que concluimos $A = a\cdot I$ .
¿Es cierto? Creo que funciona, pero he probado este argumento con un ejemplo y la igualdad que obtuve fue extraña.
La clave aquí es que $A$ representa probablemente una transformación lineal de $K$ como espacio vectorial en $F$ . La matriz que representa una transformación lineal sobre $F$ debe tener entradas que se encuentren en $F$ no puede tener entradas que se encuentren en $K \setminus F$ .
Quizá un ejemplo ayude. Vamos a $K = \mathbb C$ que es una extensión de $F = \mathbb R$ y que $a = i$ (la raíz cuadrada de $-1$ ). Como el campo base es $\mathbb R$ las entradas de nuestra matriz deben ser números reales, por lo que $i$ no puede estar en nuestra matriz. Para obtener la matriz observe que $\mathbb C$ tiene base $1, i$ en $\mathbb R$ . Mult by $i$ envía $1 \mapsto i$ y $i \mapsto -1$ por lo que obtenemos $$A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ La característica de $A$ es $x^2 + 1$ y $i$ es efectivamente una raíz.
Por otra parte, si pensamos en $\mathbb C$ como un espacio vectorial sobre sí mismo, entonces las entradas de nuestra matriz pueden estar en $\mathbb C$ . Para obtener la matriz observe que $\mathbb C$ tiene base $1$ y mult por $i$ envía $1 \mapsto i\cdot 1$ así que $$A = \begin{bmatrix} i \end{bmatrix}$$ La característica es $x - i$ y $i$ es una raíz, pero en este caso el resultado es trivial, por lo que es mucho más probable que se deba considerar el mapa como lineal sobre $F$ y no lineal sobre $K$ .
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