Caso infinito: Sea $N$ sea un subgrupo normal de índice m en $G$ . Demostrar que $a^{m}\in N$ para todos $a\in G$

Question

Estaba leyendo esto pregunta :

Sea $N$ sea un subgrupo normal de índice $m$ . Demostrar que $a^{m}\in N$ para todos $a\in G$ .

Prueba: Sea $a \in G$ . Desde $[G:N] = m$ entonces $|G/N|=m$ . Del Teorema de Lagrange se deduce que $(aN)^m=a^mN=eN=N$ . Por lo tanto $a^m\in N$ .

Para $|G/N|=m$ a seguir de $[G:N]=m$ , ambos $G$ y $N$ debe ser de orden finito. Pero esta suposición no se especifica en el problema.

¿Es posible demostrar lo mismo cuando $G$ y $N$ son de orden infinito?

Por ejemplo: Tomemos $\mathbb{Z}$ en adición y $n\mathbb{Z}$ como grupo y subgrupo normal de orden infinito. Entonces $[\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}] = n$ por lo que siguiendo la hipótesis del problema, $x^n= nx\in n\mathbb{Z}$ .

El enunciado del problema parece mantenerse en ese ejemplo. Si el problema no se cumple en el ejemplo infinito, ¿cómo puedo encontrar un contraejemplo?

Answer 1

$G/N$ es el grupo cociente de $G$ mod $N$ donde $N$ es un subgrupo normal en $G$ . Los elementos en $G/N$ son exactamente los cosets de $N$ en $G$ Así que $|G/N|=[G:N]$ . Dado $[G:N]=m$ sabemos que $|G/N|=m$ .

Tenga en cuenta que $|G/N|$ no es $|G|/|N|$ a menos que ambos $G$ y $N$ son finitos. A la prueba sólo le importa que el grupo cociente $G/N$ es finito y realmente no le importa si $G$ o $N$ son finitos.

En su ejemplo particular, el grupo cociente $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \left\{n\mathbb{Z},n\mathbb{Z}+1,\ldots,n\mathbb{Z}+(n-1)\right\}$ es finito.