Demostrar que $\mathcal{P}(A)⊆ \mathcal{P}(B)$ si y sólo si $A⊆B$.

Question

Aquí está mi prueba, yo estaría muy agradecido si alguien pudiera crítica por mí:

Para probar esta afirmación verdadera, debemos prueba de que las dos sentencias condicionales ("Si $\mathcal{P}(A)⊆ \mathcal{P}(B)$, $A⊆B$" y, Si $A⊆B$,$\mathcal{P}(A)⊆ \mathcal{P}(B)$) son verdaderas.

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Contrapositivo de la primera instrucción: Si $A \nsubseteq B$, $\mathcal{P}(A) \nsubseteq \mathcal{P}(B)$

Si $A \nsubseteq B$, entonces debe haber algún elemento en $A$, se $x$, que no está en $B$: $x \in A$, y $x \notin B$. Desde $x \in A$,$\{x\} \in \mathcal{P}(A)$; por otra parte, desde la $x \notin B$,$\{x\} \notin \mathcal{P}(B)$, lo que demuestra que, si $A \nsubseteq B$,$\mathcal{P}(A) \nsubseteq \mathcal{P}(B)$. En la prueba de los contrapositivo verdadero, el original de la proposición debe ser verdadera.

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Para probar la segunda declaración de la verdad, me gustaría poner en práctica casi el mismo argumento, de modo que no es necesario escribir. Así que, ¿esta prueba parece correcto? También, fue el contrapositivo necesario? O hay otra manera de probar la declaración inicial?

Answer 1

Su argumento es bien, si un poco más de la rotonda de la que es necesario: ambas direcciones se puede hacer fácilmente con el directo de las pruebas.

Supongamos primero que $\wp(A)\subseteq\wp(B)$. $A\subseteq A$, por lo $A\in\wp(A)\subseteq\wp(B)$, lo $A\in\wp(B)$, y, por tanto,$A\subseteq B$.

Ahora supongamos que $A\subseteq B$. Entonces para cualquier $X\in\wp(A)$ tenemos $X\subseteq A\subseteq B$, lo $X\subseteq B$, y por lo tanto $X\in\wp(B)$. Por lo tanto, $\wp(A)\subseteq\wp(B)$.

Answer 2

Yo sé que estaban pidiendo para una crítica de la prueba original. Pero ya que me parece de texto basado en pruebas (como la suya, y la una de la otra respuesta) más difícil de leer que simbólicos, permítanme responder por presentar la manera en la que me gustaría escribir una prueba de ello.

Prueba. Para todos los conjuntos a y B,

$$\begin{array}{ll} & \mathcal{P}(A) ⊆ \mathcal{P}(B) \\ \equiv & \;\;\;\text{"definition of ⊆"} \\ & \langle \forall V : V \in \mathcal{P}(A) : V \in \mathcal{P}(B) \rangle \\ \equiv & \;\;\;\text{"definition of %#%#%, twice"} \\ & \langle \forall V : V ⊆ A : V ⊆ B \rangle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*) \\ \equiv & \;\;\;\text{"see below"} \\ & A ⊆ B \\ \end{array}$$

que prueba de este teorema. La dirección de avance en el último paso es fácil de probar:

$$\begin{array}{ll} & \langle \forall V : V ⊆ A : V ⊆ B \rangle \\ \Rightarrow & \;\;\;\text{"choose %#%#%; %#%#%"} \\ & A ⊆ B \\ \end{array}$$

En el otro sentido, asumiendo $\mathcal{P}$ demostramos $V := A$ como sigue: para cada $A ⊆ A$,

$$\begin{array}{ll} & V ⊆ A \\ \Rightarrow & \;\;\;\text{"A ⊆ B, and ⊆ is transitive"} \\ & V ⊆ B \\ \end{array}$$

Nota. Este es el estilo de la prueba de escritura que se usa en, por ejemplo, Un Enfoque Lógico para la Matemática Discreta por Gries y Schneider; fue originalmente diseñado por Dijkstra y Feijen, y se discute en el capítulo "En nuestra prueba de formato" de Dijkstra y Scholten, Predicado de cálculo y programa de la semántica, y (para proporcionar una fuente de acceso) cerca del final de EWD1300.

Lo bueno de este estilo es que el $A ⊆ B$ muestran muy claramente que las propiedades se utilizan: aparte de la lī ogica y las definiciones de $(*)$$V$, por encima de la prueba sólo se utiliza el hecho de que $\text{"hints"}$ es reflexiva y transitiva.