Duda en la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange de campo

Question

Estoy estudiando una derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange en un entorno de campo, y un paso de la demostración se me escapa continuamente. Sea $\phi(\vec x,t)$ sea un campo y $\mathscr L(\phi,\partial_\mu\phi)$ sea una densidad lagrangiana donde $\partial_\mu \equiv (c^{-1}\frac{\partial}{\partial t},\vec\nabla)$ es el operador diferencial covariante indexado del espaciotiempo. Definimos el acción de $\mathscr L$ $$\mathcal S[\phi(\vec x,t)]\equiv \int dt\,d^d x\mathscr L.$$

Ahora elegimos un campo $\phi'(\vec x,t) = \phi(\vec x, t) + \delta\phi(\vec x, t)$ y desean extremar $\mathcal S$ - en particular, para resolver el principio de acción mínima/extrema $$\delta\mathcal S=0+\mathcal O(\delta\phi^2)$$ (aquí se ignorarán implícitamente los términos de orden superior).

$$\begin{align}0 = \delta\mathcal S \equiv \mathcal S[\phi']-\mathcal S[\phi] \\ = \int dt\,d^d x\left[\mathscr L(\phi+\delta\phi,\partial_\mu\phi+\partial_\mu\delta\phi) - \mathscr L(\phi,\partial_\mu\phi)\right] \\ = \int dt\, d^d x\left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi}\delta\partial_\mu\phi\right] \\\delta\mathcal S = \int dt\, d^d x\left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial \mathscr L}{\partial \partial_\mu\phi}\partial_\mu(\delta\phi)\right]\tag{1} \end{align}$$

La mayor parte de esto es esencialmente trivial. Sin embargo, no consigo entender el siguiente paso, cuya única justificación es "ahora integramos el segundo término por partes ". varios veces para dividir $(1)$ en dos integrales". Sé que en la derivación normal de Euler-Lagrange se integra por partes una vez con respecto al tiempo y se acaba con un término de superficie que desaparece, pero esta generalización, por alguna razón, me inquieta.

$$\delta\mathcal S = \int dt\,d^d x\left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial\phi} - \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_\mu\phi}\right)\right]\delta\phi\color{red}{+\int dt\,d^d x\left[\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathscr L}{\partial\partial_\mu\phi}\delta\phi\right)\right]}$$

Mi pregunta es simplemente: ¿cómo surgió el término rojo, y por qué es ella misma una integral ? ¿Hemos realizado de alguna manera la integración por partes a continuación de veces?

Answer 1

Déjame pulir un poco las cosas. Supongo que usted está haciendo algo en la relatividad, por lo que está en un colector Lorentziano $(M,g)$ donde $g$ es la métrica. No ha especificado si su campo tiene valor real, pero supongo que sí, así que $\varphi:M\rightarrow \mathbb{R}$ . Así, el haz de configuración de la teoría es $M\times \mathbb{R}$ como es habitual en relatividad se toman las coordenadas $x^{\mu}$ en $M$ . El Lagrangiano que está considerando es primer pedido (es decir, depende como máximo de la primera derivada), por lo que el escenario geométrico natural para estudiar la variación es el primer haz de chorros de $M\times \mathbb{R}$ es decir $J^1(M\times \mathbb{R})$ . Si esto le resulta confuso, simplemente ignórelo y diga que se encuentra en un determinado colector cuya coordinada local $(x^{\mu},\varphi,\varphi_{\mu})$ donde $\varphi_{\mu}(x)=\partial_{\mu}\varphi(x)$ para algún campo escalar $\varphi$ en cada $x \in M$ .

Ahora bien, un lagrangiano es un objeto (un "tipo" de $m$ -formar sobre $M$ ) localmente de la forma $\mathscr{L}(x,\varphi,\varphi_{\mu})d\sigma$ donde $d\sigma=dx^1 \wedge dx^2 \wedge\ldots\wedge dx^m$ si suponemos que dim $(M)=m$ . En general, podemos integrar $m$ -sobre una región compacta de variedades, por lo que la acción de $\mathscr{L}$ en $D\subset M$ región compacta con límites regulares, a lo largo del campo $\varphi$ es $$ \mathscr{A}_D(\mathscr{L},\varphi) = \int_D \mathscr{L}(x,\varphi(x),\varphi_{\mu}(x))d\sigma $$ entonces define lo que es una deformación: toma un campo vectorial vertical, (secretamente $\delta\varphi$ ), sobre $M\times \mathbb{R}$ (es decir, algunos $X=\delta\varphi(x,\varphi)\frac{\partial}{\partial \varphi}$ ) con soporte compacto en la región $D$ a X siempre se le puede asociar su grupo de difeomorfismos de un parámetro $\Phi_s : M \times \mathbb{R}\rightarrow M \times \mathbb{R}$ que en este caso concreto es $id_M\times \phi_s$ con $\phi_s : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ teniendo $\left. \frac{d}{ds}\right|_0\phi_s(x,\varphi)=\delta\varphi(x,\varphi)$ . Finalmente la variación de la acción a lo largo del campo vectorial $X$ es $$ \delta\mathscr{A}_D(\mathscr{L},\varphi,X) =\left.\frac{d}{ds}\right|_0\ \int_D \mathscr{L}(x,\phi_s\circ\varphi(x),\partial_{\mu}(\phi_s\circ\varphi(x)))d\sigma $$ Ahora recordando que $(x,\varphi,\varphi_{\mu})$ son coordenadas evaluamos lo anterior usando suavidad para la conmutación de derivadas $$ \delta\mathscr{A}_D(\mathscr{L},\varphi,X) = \int_D \left( \frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi} \left.\frac{d}{ds}\right|_0(\phi_s\circ\varphi(x)) +\frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi_{\mu}} \partial_{\mu}\left.\frac{d}{ds}\right|_0(\phi_s\circ\varphi(x)) \right)d\sigma=\int_D \left( \frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi} \delta\varphi +\frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi_{\mu}} \partial_{\mu}\delta\varphi \right)d\sigma $$ entonces integras por partes (aquí hay un punto sutil ya que en general estás usando coordenadas locales, y por tanto tienes que comprobar que puedes realizar globalmente integración por partes, resulta sin embargo que siempre puedes hacerlo pasando a derivadas covariantes y luego volviendo a las habituales sin afectar a la integral aparte de un término de frontera que en esta configuración es cero) el segundo término y obtienes $$ \delta\mathscr{A}_D(\mathscr{L},\varphi,X) =\int_D \left( \frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi} -\partial_{\mu}\frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi_{\mu}} \right)\delta\varphi d\sigma+\int_D \partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi_{\mu}} \delta\varphi\right)d\sigma $$ la última parte de la integral es una diferencial exacta, por lo que se utiliza el teorema de Stokes y se encuentra que $$ \delta\mathscr{A}_D(\mathscr{L},\varphi,X) =\int_D \left( \frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi} -\partial_{\mu}\frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi_{\mu}} \right)\delta\varphi d\sigma+\int_{\partial D} \left(\frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi_{\mu}} \delta\varphi\right)d\sigma_{\mu} $$ recordemos ahora que asumimos $\delta\varphi$ donde se admiten compacly en $D$ por lo que en su frontera estos son cero y el término límite desaparece.

Por fin un campo $\varphi $ es extrema para la acción si para todas las regiones compactas $D$ de $M$ y para todos $ X$ campos vectoriales verticales (véase más arriba) compactamente soportados en $D$ tenemos $$ \delta\mathscr{A}_D(\mathscr{L},\varphi,X)=0 $$ es decir $$ \frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi} -\partial_{\mu}\frac{\partial\mathscr{L}(x,\varphi(x),\partial_{\mu}\varphi(x))}{\partial \varphi_{\mu}} =0. $$