Q1: No, es ligeramente más débil que eso. Como se describe en el entrada del blog "casi todos" significa en el sentido de densidad logarítmica , que es un concepto algo técnico que significa aproximadamente que el conjunto de contraejemplos tiene "probabilidad cero". Formalmente significa que el conjunto de contraejemplos es un conjunto $A \subseteq \mathbb{N}$ tal que
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{a \in A, a \le n} \frac{1}{a}}{\log n} = 0.$$
Cualquier conjunto finito tiene densidad logarítmica $0$ pero algunos conjuntos infinitos también lo hacen, como los cuadrados y los primos.
Q2: La órbita de un número entero $N$ bajo el mapa de Collatz $\text{Col}$ es la secuencia completa $\{ N, \text{Col}(N), \text{Col}^2(N), \dots \}$ por lo que sí, incluye ciclos si $N$ termina en un ciclo.
Q3: Como se describe en el entrada del blog Por desgracia, "casi acotado" vuelve a ser un concepto un tanto técnico. Significa que si $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ es cualquier función tal que $\lim_{n \to \infty} f(n) = \infty$ entonces el número más pequeño $\text{Col}_{\text{min}}(N)$ en la órbita de Collatz de $N$ satisface $\text{Col}_{\text{min}}(N) \le f(N)$ para "casi todos" $N$ (donde "casi todos" significa en el sentido de densidad logarítmica). Si pudiéramos tomar $f(n) = 1$ (o cualquier otra constante pequeña) y esto fuera cierto para todos los $N$ entonces esto sería equivalente a la conjetura de Collatz; lo que Tao muestra es que podemos tomar $f$ crecer arbitrariamente despacio hasta el infinito, por lo que, por ejemplo, podemos tomar $f(N) = \log \log \log \log N$ (para $N$ lo suficientemente grande como para que quede definido). Incluso podemos tomar una función que crezca tan lentamente como el función inversa de Ackermann una función que, como es sabido, crece tan lentamente que, a efectos prácticos, es como máximo $5$ .
Q4:
En pocas palabras, ¿significa esto que la conjetura de Collatz es cierta para "casi todos" los números enteros positivos?
No. El segundo "casi" es importante; Tao demuestra que es "casi" cierto para "casi todos" los números enteros positivos, donde ambos "casi" tienen significados distintos y técnicos.
