Determinar los ángulos de un triángulo dada la relación entre sus aristas

Question

Dado que un triángulo tiene aristas de razón 2 : 3 : 4, la tarea consiste en determinar los tres ángulos, digamos en grados. Empecé dibujando un segmento de 4 cm en el papel, luego dibujé segmentos perpendiculares de longitudes 2 y 3 cm subiendo desde los puntos extremos del segmento original. Con un compás tracé arcos desde los extremos de los segmentos perpendiculares, y su intersección me permitió determinar un triángulo cuyas aristas cumplen el requisito de la proporción 2 : 3 : 4 (cm). Visualmente:

                                                      

Aunque me alegro de haber podido construir el triángulo, no sé muy bien cómo proceder. Tengo la sensación de que el ángulo 2-4 (siento haberme olvidado de etiquetarlo) es de 45°, el 3-4 de 30°, lo que deja 105° para el ángulo 2-3. Pero necesito que me orienten sobre cómo plantear realmente el triángulo. Pero necesito alguna orientación sobre cómo enfocar realmente probando (o si esas suposiciones son erróneas, cómo determinar los ángulos reales). Gracias de antemano por cualquier consejo o sugerencia.

Answer 1

Sugerencia: pruebe a utilizar ley de los cosenos .

Answer 2

Que tu triángulo sea $ABC$ con $A$ en la parte inferior izquierda, $B$ en la parte inferior derecha, y $C$ arriba.

Deja caer una perpendicular desde $C$ a $AB$ Reunión $AB$ en $P$ .

Sea $AP=x$ . Entonces $BP=4-x$ . Sea $CP=h$ .

Por el Teorema de Pitágoras sobre los dos triángulos menores, tenemos $$x^2+h^2=4 \quad\text{and}\quad (4-x)^2+h^2=9.$$ Expandir y restar. Obtenemos $16-8x=5$ y por lo tanto $x=\frac{11}{8}$ .

De ello se deduce que el coseno del ángulo en $A$ es igual a $\frac{11/8}{2}$ Eso es, $\frac{11}{16}$ . Por lo tanto (calculadora) el ángulo en $A$ se trata de $46.57^\circ$ .