3 congruente a cierta forma cuadrática mod p, ¿implica que p es congruente a 1 u 11 mod 12

Question

Estoy trabajando en algo y me he encontrado con el siguiente problema de teoría de números:

Sea $p$ sea un primo al menos $5$ y $\ell^{2}+\ell k+k^{2}\equiv3$ (mod $p$ ). Donde $\ell$ , $k$ son soluciones de la ecuación lineal diofántica

$-3\ell+4k=12$

¿Es cierto que $p\equiv\pm1$ (mod $12$ )?

Siempre es cierto si $\ell$ o $k$ est $0$ que no es más que reciprocidad cuadrática. Hice algunas pruebas numéricas y encontrar que es cierto en muchos casos.

En términos más generales, me interesa el caso en que $\ell$ , $k$ son soluciones de

$a\ell+bk=2c$

Dónde $a,b,c$ son números enteros que satisfacen la ecuación

$a^{2}+b^{2}-ab=1+c^{2}$ (por ejemplo $(a,b,c)=(-3,4,6)$ es una solución)

Hice algunas pruebas numéricas para soluciones distintas de $(-3,4,6)$ y encuentro que la afirmación es cierta también en esos casos. Realmente no he podido encontrar en la literatura donde se estudie este tipo de problema, ni soy lo suficientemente sólido en teoría de números como para intentarlo yo mismo. Así que si algún experto me puede ofrecer alguna ayuda, se lo agradeceré mucho.

Answer 1

El primer resultado es correcto.

Puede eliminar $l$ y obtener $(37k-66)^2\equiv{27}$ (mod $p$ ).

Entonces $(\frac {3}{p})=+1$ y la reciprocidad cuadrática da $p\equiv\pm1$ (mod $12$ ).

Answer 2

El caso general (Todas las congruencias son módulo $p$ )

$$a^2l^2+a^2lk+a^2k^2\equiv 3a^2$$ Sustituir $al+bk$ por $2c$ ampliar y simplificar: $$(1+c^2)k^2+2c(a-2b)k+4c^2\equiv 3a^2$$ Multiplicar por $1+c^2$ y sustituir $(1+c^2)k$ por $K$ : $$K^2+2c(a-2b)K+(4c^2-3a^2)(1+c^2)\equiv 0$$ Completa el cuadrado: $$(K+c(a-2b))^2\equiv (3a^2-4c^2)(1+c^2)+c^2(a-2b)^2 \equiv 3a^2-4c^2-4c^4+4c^2(a^2+b^2-ab)\equiv3a^2$$ Así, proporcionando $p$ es un primo impar que no es factor de $a$ , $(\frac{3}{p})=+1$ y la reciprocidad cuadrática da

$p\equiv\pm1$ (mod $12$ ).