Cómo $S_1$ & $S_2$ ¿son equivalentes?

Question

Si $f\in L^{\infty}(E)$ .

Cómo $$S_1=\sup\left\{M:\mu(\left\{x\in E:|f(x)|\ge M \right\}) \ne 0 \right\}$$ y $$S_2=\inf\left\{M:\mu(\left\{x\in E:|f(x)|\gt M \right\}) = 0 \right\}$$ ¿son equivalentes?

Esta es la respuesta de Herald Hanche-Olsen

Si pone $$\begin{aligned} f_1(M)&=\mu(\{x\in E\colon |f(x)|\ge > M\}),\\ f_2(M)&=\mu(\{x\in E\colon |f(x)|> M\}), \end{aligned}$$ entonces ambos $f_1$ y $f_2$ son funciones (no estrictamente) decrecientes. Además, $f_1\ge f_2$ mientras que si $M_1>M2$ entonces $f_1(M_1)\le > f_2(M_2)$ . El resultado se deduce fácilmente de (Intuitivamente, $f_1$ y $f_2$ son prácticamente la misma función; difieren sólo difieren en las discontinuidades.

En esta respuesta no estoy captando la noción de introducción de infimum y supremum sobre $f_1$ y $f_2$ Además, si $f_1$ & $f_2$ a la misma función entonces cómo el ínfimo de una puede ser igual al supremum de la otra?

Answer 1

Si pones $$\begin{aligned} f_1(M)&=\mu(\{x\in E\colon |f(x)|\ge M\}),\\ f_2(M)&=\mu(\{x\in E\colon |f(x)|> M\}), \end{aligned}$$ entonces ambos $f_1$ y $f_2$ son funciones (no estrictamente) decrecientes. Además, $f_1\ge f_2$ mientras que si $M_1>M2$ entonces $f_1(M_1)\le f_2(M_2)$ . El resultado se deduce fácilmente de estas observaciones. (Intuitivamente, $f_1$ y $f_2$ son prácticamente la misma función; sólo difieren en las discontinuidades.