La Visualización De Continuidad Uniforme

Question

Dada una definición coloquial de uniforme continuidad como $f(x)$ $f(y)$ puede ser hecho para ser arbitrariamente cerca de al $x$ $y$ están suficientemente cerca, y la distancia entre el $x$ $y$ es independiente de $x$$y$.

No estoy realmente seguro de cómo la imagen de un uniforme función continua en mi cabeza. Se me mostró que si la derivada de una función es acotada, entonces será uniforme continua. (Tuve problemas con la conversación.) Pensando a lo largo de las líneas que necesito obligado el cambio en $f$.

¿Cómo se puede visualizar uniforme de continuidad?

Answer 1

Fix $\varepsilon > 0$ y fijar un $\delta > 0$ que trabaja en la definición de continuidad uniforme.

La declaración de $|x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon$ indica que no se puede colocar un rectángulo de anchura $\delta$ y la altura de la $\varepsilon$ con su centro en cualquier punto en el gráfico, y el gráfico que va siempre por el centro del rectángulo, es decir, que nunca toca la parte superior o inferior del rectángulo.

Answer 2

Aquí está una visualización uniforme de continuidad:

Deje $\gamma$ ser la gráfica de una función de $f\colon\ {\mathbb R}\to{\mathbb R}$ y dejar que un $\epsilon>0$ ser dado. El $\epsilon$-tubo con alma $\gamma$ es el conjunto $T_\epsilon(\gamma):=\{(x,y)\in{\mathbb R}^2\ |\ |y- f(x)|<\epsilon\}$.

Junto con $f$ consideramos que su se traduce $f_a$ definido por $f_a(x):=f(x-a)$. Deje $\gamma_a$ ser la gráfica de $f_a$.

La función dada $f$ es uniformemente continua en a ${\mathbb R}$ si, dado un $\epsilon>0$, hay un $\delta>0$ a todas las gráficas de $\gamma_a$ $|a|<\delta$ ajuste en el $\epsilon$-tubo con alma $\gamma$: $$\gamma_a\subset T_\epsilon(\gamma)\qquad \bigl(|a|<\delta\bigr)\ .$$

Answer 3

$f$ es continua en un número real $x$ si $f(x+dx)-f(x)$ es infinitesimal, siempre que $dx$ es infinitesimal.

$f$ es continua en todos los reales si lo mismo es cierto en todos los reales $x$.

$f$ es uniformemente continua en la línea real si la misma es verdadera, no sólo al $x$ es real, pero también para todos los infinitamente grandes $x$ y todos los $x$ infinitamente cerca de una real.

Por ejemplo, $x\mapsto \sin(1/x)$ no es uniformemente continua porque para $x$ infinitamente cerca de $0$, $\sin(1/x)$ puede ir todo el camino de $-1$ $1$al $x$ cambios por una infinitamente pequeña cantidad.

Y $x\mapsto e^x$ no es uniformemente continua ya que para un valor infinitamente grande de $x$, $x$ puede aumentar infinitamente mientras que $e^x$ aumenta por $1$.