Demostrar que si $2^{4\times5^k}=x\times5^{k+3}+a,0<a<5^{k+3},$ entonces $5\mid x$

Question

Sea $$2^{4\times5^k}\equiv a \pmod {5^{k+3}},\\2^{4\times5^k}\equiv b \pmod {5^{k+4}},$$ a $0<a<5^{k+3},0<b<5^{k+4},$ demuestre que $a=b.$$ (k>1)$

Esto equivale a lo siguiente: si $2^{4\times5^k}=x\times5^{k+3}+a,0<a<5^{k+3},$ entonces $5\mid x.$

ADD: Un problema similar: Demostrar que si $2^{2\times5^k}=x\times5^{k+4}+a,0<a<5^{k+4},$ entonces $5\mid x.(k>2)$

Answer 1

Utilizando este si ord $\displaystyle _{(p^k)}a = d$ donde k es un número natural y $p$ impar prime,

podemos demostrar que ord $_{(p^{k+1})}a = d$ o $pd$

Ahora, $\displaystyle 2^2\equiv-1\pmod5\implies 2^4\equiv1\pmod5\implies$ ord $_52=4$

$\displaystyle\implies$ ord $_{(5^2)}2=4$ o $4\cdot5=20$ que $=\phi(25)$

Ahora, $\displaystyle2^4=16\not\equiv1\pmod{25}\implies$ ord $_{(5^2)}2=20$

Así que.., $2$ es una raíz primitiva de $25$

utilizando este , $2$ es una raíz primitiva de $5^k$ para números enteros $k\ge1$

$\displaystyle\implies2^{4\cdot5^k}\equiv1\pmod{5^{k+1}}\equiv1+c\cdot5^{k+1}\pmod{5^r}$ para números enteros $r\ge k+1$

donde $c$ es un número entero no divisible por $5$ como $\displaystyle2^{4\cdot5^k}\not\equiv1\pmod{5^r}$ donde $r\ge k+1$