Demostrar que cada parche de una superficie $M$ en $R^3$ es correcto.

Question

Problema

Demostrar que si $\mathbf{y}:E\to M$ es un parche adecuado, entonces $\mathbf{y}$ lleva conjuntos abiertos en $E$ para abrir conjuntos en $M$ . Deduzca que si $\mathbf{x}:D \to M$ es un parche arbitrario, entonces la imagen $\mathbf{x}(D)$ es un conjunto abierto en $M$ . (Sugerencia: para demostrar esta última afirmación, utilice Cor 3.3.) Por último, demuestre que cada parche $\mathbf{x}:D\to M$ en una superficie $M$ en $R^3$ es correcto. (Sugerencia: utilice lo anterior para observar que $(\mathbf{x}^{-1}\mathbf{y})\mathbf{y}^{-1}$ es continua y coincide con $\mathbf{x}^{-1}$ en un conjunto abierto en $\mathbf{x}(D)$ .)

En primer lugar, anotaré las definiciones de algunos de los términos anteriores, tal y como aparecen en el texto.

Definiciones

Un parche $\mathbf{x}:D\to R^3$ es un mapeo regular uno a uno de un conjunto abierto $D$ de $R^2$ en $R^3$ .

Un parche adecuado es un parche para el que la función inversa $\mathbf{x}^{-1}:\mathbf{x}(D)\to D$ es continua.

Una superficie en $R^3$ es un subconjunto $M$ de $R^3$ tal que para cada punto $\mathbf{p}$ de $M$ existe un parche adecuado en $M$ cuya imagen contiene una vecindad de $\mathbf{p}$ en $M$ .

Para una función $F:R^n\to M$ cada parche x en $M$ da una expresión de coordenadas $\mathbf{x}^{-1}(F)$ para $F$ .

Una función $F:R^n\to M$ es diferenciable siempre que todas sus expresiones de coordenadas sean diferenciables en el sentido euclidiano habitual.

3.3 Corolario Si x y y son manchas en una superficie $M$ en $R^3$ cuyas imágenes se solapan, entonces las funciones compuestas $\mathbf{x}^{-1}\mathbf{y}$ y $\mathbf{y}^{-1}\mathbf{x}$ son cartografías diferenciables definidas en conjuntos abiertos de $R^2$ .

Mi pregunta

No sé cómo demostrar la primera parte.

Desde y $^{-1}:\mathbf{y}(E)\to E$ es continua, así que por definición de continuidad, dado un conjunto abierto $O$ en $E$ , ${\mathbf{y}^{-1}}^{-1}(O)=\mathbf{y}(O)$ está abierto en $\mathbf{y}(E)$ pero ¿cómo podemos garantizar que está abierto en $M$ cuando $\mathbf{y}(E)$ no es la totalidad de $M$ ?

Además, tomando esto como dado, ¿cómo puedo usar Cor 3.3 para demostrar que la imagen de un parche arbitrario es abierta en $M$ ? Y, por último, ¿cómo se pueden utilizar para demostrar que todos los parches de una superficie son adecuados?

Creo que estoy confundido con la topología en las superficies, y esto está inhibiendo mi pensamiento. Agradecería enormemente si alguien puede escribir una exposición clara del problema anterior.

Answer 1

Esto es sólo un problema de topología. Puesto que $M\subset \mathbb{R}^{3}$ , $M$ tienen una topología relativa inducida por la topología en $\mathbb{R}^{3}$ , $i.e.$ los conjuntos abiertos (o vecindad abierta) $V$ en $M$ son subconjuntos abiertos en $\mathbb{R}^{3}$ intersección $M$ ( $V=U\cap \mathbb{R}^{3}$ ). Si $\chi: D\rightarrow M$ es un parche propio entonces esta es una función continua uno a uno con inversa continua (topológicamente hablando), entonces $\chi$ es un homeomorfismo entre $D$ y $M$ . Entonces $\chi(E)$ está abierto si $E\subset D$ está abierto. Otra forma es, W.L.G. $\chi(E)\subset \chi(D)\cap\rho(F)$ con $\rho:F\rightarrow M$ otro parche adecuado. Por su corolario $(\rho^{-1}\circ\chi)(E)$ está abierto ya que $\rho^{-1}\circ\chi$ es un difeomorfismo en $\mathbb{R}^{3}$ y luego $\rho\circ(\rho^{-1}\circ\chi)(E)$ está abierto el $M$ pero $\rho\circ(\rho^{-1}\circ\chi)(E)=\chi(E)$ desde $\rho$ y $\chi$ son uno a uno.

Answer 2

Sea $\mathbf{y}:E\to M\subseteq\mathbb{R^3}$ , $M$ una superficie, sea un parche adecuado. Entonces $\mathbf{y}^{-1}:\mathbf{y}(E)\to E$ es continua. Si $\mathbf{y}(E)$ contiene algún punto límite (es decir, no es abierta), la función $\mathbf{y}^{-1}$ no puede ser continua, ya que un punto límite no tiene equivalente en un conjunto abierto (cada punto de un conjunto abierto tiene una vecindad, los puntos límite no).

A continuación observamos que si $\mathbf{x}:D\to M\subseteq\mathbb{R^3}$ es cualquier parche, entonces $\mathbf{x}(D)$ es abierta por la definición de superficie. Sea $p\in\mathbf{x}(D)$ entonces $p$ tiene una vecindad. Como cada punto $p$ en $\mathbf{x}(D)$ tiene un barrio, $\mathbf{x}(D)$ está abierto.

Podemos utilizar el Corolario 3.3 para demostrar la última parte de la pregunta. Si un punto $d\in D$ es parte de un parche adecuado, hemos terminado. Si no lo es, $\mathbf{x}(d)$ forma parte de un parche no adecuado $\mathbf{x}$ y un parche adecuado $\mathbf{y}$ digamos. Debido al Corolario 3.3, el punto en $\mathbf{x}(d)$ es diferenciable e identifica una única coordenada. $\mathbf{x}^{-1}(\mathbf{x}(d))=d$ y como $\mathbf{y}$ es correcto, $\mathbf{x^{-1}y}(d)$ es continua invertible.

Esto se aplica a todos los $d\in D$ por lo que, debido a la dualidad de la diferenciabilidad de las funciones compuestas en el Corolario 3.3, toda coincidencia es adecuada (ya que podríamos haber utilizado igualmente $\mathbf{y^{-1}x}$ ).

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NOTA: Su pregunta no indica explícitamente $M$ es una superficie al principio, pero no veo cómo se puede progresar de otra manera. El último argumento parece un poco dudoso - lo hace probar cada punto $d\in D$ forma parte de un parche adecuado, pero también podría formar parte de un parche no adecuado.