Calcular la serie de Fourier y sumarla explícitamente para x=0

Question

En primer lugar, no estoy seguro de lo que "explícitamente suma para $x=0$ significa. Me imaginé que debería encontrar la suma infinita.

Mi función es

$f(x)=\theta(-x)\sin(x)+\theta(x)\cos(x)$ para $-\pi\le x \le \pi$ .

He calculado que los coeficientes de Fourier son:

$a_0=-\frac{2}{\pi}$

$a_n=\frac{(-1)^n+1}{\pi n^2 - \pi}$

$b_n=\frac{n(-1)^n+n}{\pi n^2 - \pi}$

y así mi serie se ve así:

$F(x)=-\frac{1}{\pi}+\frac{2}{\pi} \sum\frac{cos(2nx)}{4n^2-1} +\frac{2}{\pi} \sum\frac{2nsin(2nx)}{4n^2-1}$ .

Ahora, veo que mi función $f$ tiene una discontinuidad en $x=0$ así que uso límites para encontrar el valor de $F(0)$ :

$\lim_{x->0+}f(x)=1$

$\lim_{x->0-}f(x)=0$

$F(0)=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$ .

Desde $\sin{0}=0$ y $\cos{0}=1$ Lo he hecho:

$\frac{1}{2}=-\frac{1}{\pi}+\frac{2}{\pi} \sum\frac{1}{4n^2-1}$ .

Resolver eso me da:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1}=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$

lo cual es incorrecto según Wolfram Alpha (la solución WA no tiene $\frac{\pi}{4}$ ).

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Es la discontinuidad la causa del problema? ¿Mi objetivo es siquiera encontrar esa suma?

Answer 1

Aclaremos esto: la serie de Fourier de $f(x)$ no es la escrita. Suponiendo que $$ \theta(x)=\left\{\begin{array}{rcl}0&\text{if}& x<0\\\tfrac{1}{2}&\text{if}& x=0\\1&\text{if}& x>0\end{array}\right.$$ tenemos que la serie de Fourier de $\theta(-x)\sin(x)+\theta(x)\cos(x)$ en $[-\pi,\pi]$ viene dado por $$ -\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}\cos(x)+\frac{2}{\pi}\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(2nx)}{4n^2-1}+\frac{1}{2}\sin(x)+\frac{4}{\pi}\sum_{n\geq 1}\frac{n\sin(2nx)}{4n^2-1} $$ y la evaluación de dicha serie en $x=0$ conduce al valor $$ -\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n\geq 1}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2} $$ como se esperaba de $\frac{1}{2}\left[\lim_{x\to 0^-}f(x)+\lim_{x\to 0^+}f(x)\right]$ .