Cómo encontrar el $f^{-1}(x)$ de $f(x)=x^{3}-12x+\frac{48}{x}-\frac{64}{x^{3}}$

Question

Es una pregunta de un concurso.

A continuación se expone toda la cuestión.

L \begin{eqnarray} \\f(x)=x^{3}-12x+\frac{48}{x}-\frac{64}{x^{3}} , \space x\in (-\infty ,0), \end{eqnarray} encontrar $f^{-1}(x)$ . Sugerencia : $f(x)$ puede escribirse de la forma $(A+B)^{3}$ .

Lo primero que pienso es $(A+B)^{3}=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3$ y luego intentar que se convierta en la forma de $A^3+3A^3B+3AB^3+B^3$ . Sin embargo, es muy difícil obtener este formulario.

Necesito ayuda.

Actualización : Ahora tengo $\left(x - \frac 4x\right)^3$ pero ¿cómo encontrar el $f^{-1}(x)$ de $f(x)=\left(x - \frac 4x\right)^3$ ?

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Gracias por su atención

Answer 1

Pista: Intenta emparejar el primer y el último término: $A^3 = x^3$ y $B^3=-\frac{64}{x^3}$ y comprueba si se ajusta a los demás términos.

Answer 2

Sugerencia: amplíe $$\left(x - \frac 4x\right)^3$$

Answer 3

Pista: $y = \left(x - \dfrac4x\right)^3 \Longrightarrow x^2 - x\sqrt[3]{y} - 4 = 0$ .

Answer 4

Para $x \in (-\infty,0)$ la función inversa tiene la forma

$$ f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\left( \sqrt[3]{x}-\sqrt{\sqrt[3]{x^2}+16} \right) $$ Como ya hemos dicho, tenemos

$y = \left(x - \dfrac4x\right)^3 \Longrightarrow x^2 - x\sqrt[3]{y} - 4 = 0$ .

Resolviendo la ecuación obtenemos $$ x=\frac{1}{2}\left( \sqrt[3]{y}-\sqrt{\sqrt[3]{y^2}+16} \right), $$ y $$ x=\frac{1}{2}\left( \sqrt[3]{y}+\sqrt{\sqrt[3]{y^2}+16} \right). $$ La primera expresión es siempre negativa (nota $x \in (-\infty,0)$ pero la segunda es positiva y no nos conviene. Así, cambiando las variables, obtenemos la función inversa.

Answer 5

$\left(x-\frac{4}{x}\right)^{3}$