En la teoría moderna de la valoración, no sólo se estudian los valores absolutos en un campo, sino también Valoraciones de Krull . La motivación es bastante fácil:
Si $k$ es un campo, a anillo de valoración de $k$ es un subring $R$ tal que para cada $x \in k^{\times}$ al menos uno de los siguientes $x, x^{-1}$ es un elemento de $R$ . (Se deduce, por supuesto, que $k$ es el campo de fracción de $R$ .) Si $| \ |$ es una norma no arquimediana sobre un campo, entonces el conjunto $\{x \in k \ | \ |x| \leq 1 \}$ es un anillo de valoración. Sin embargo, lo contrario no se cumple, ya que si $R$ es un anillo de valoración, entonces $k^{\times}/R^{\times}$ no es necesario inyectar en $\mathbb{R}$ sino que es (bajo una extensión directa de la relación de divisibilidad sobre $R$ ) un grupo abeliano totalmente ordenado. Además, una cierta construcción formal de series de potencias muestra que para cualquier grupo abeliano totalmente ordenado $\Gamma$ existe $k$ y $R$ con $k^{\times}/R^{\times} \cong \Gamma$ .
Mi pregunta es la siguiente: ¿cuáles son algunos casos en los que tener la generalidad de las valoraciones de Krull es útil para resolver algún problema (que no es a priori de la teoría de la valoración)? ¿Cómo surgen las valoraciones de Krull en la geometría algebraica?
Casi puedo recordar un ejemplo de esto. Creo que es posible dar una prueba rápida del Teorema de Lang-Nishimura -- que teniendo una suave $k$ -punto racional es un invariante biracional entre completos [hmm, ¡criterio valorativo!] $k$ -variedades. Creo que vi esto en algunas de las notas de la conferencia de Bjorn Poonen, pero se me olvida dónde. [El año pasado por estas fechas, habría enviado un correo electrónico a Bjorn. Estoy probando este nuevo enfoque en la teoría de que Bjorn puede responder si lo desea, y si no alguien más seguramente estará ansioso por decirme la respuesta].
¿Hay otros buenos ejemplos? ¿Tal vez algo relacionado con la resolución de singularidades?
