¿Qué ejemplos ilustran la utilidad de las valoraciones de Krull (es decir, rango > 1)?

Question

En la teoría moderna de la valoración, no sólo se estudian los valores absolutos en un campo, sino también Valoraciones de Krull . La motivación es bastante fácil:

Si $k$ es un campo, a anillo de valoración de $k$ es un subring $R$ tal que para cada $x \in k^{\times}$ al menos uno de los siguientes $x, x^{-1}$ es un elemento de $R$ . (Se deduce, por supuesto, que $k$ es el campo de fracción de $R$ .) Si $| \ |$ es una norma no arquimediana sobre un campo, entonces el conjunto $\{x \in k \ | \ |x| \leq 1 \}$ es un anillo de valoración. Sin embargo, lo contrario no se cumple, ya que si $R$ es un anillo de valoración, entonces $k^{\times}/R^{\times}$ no es necesario inyectar en $\mathbb{R}$ sino que es (bajo una extensión directa de la relación de divisibilidad sobre $R$ ) un grupo abeliano totalmente ordenado. Además, una cierta construcción formal de series de potencias muestra que para cualquier grupo abeliano totalmente ordenado $\Gamma$ existe $k$ y $R$ con $k^{\times}/R^{\times} \cong \Gamma$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿cuáles son algunos casos en los que tener la generalidad de las valoraciones de Krull es útil para resolver algún problema (que no es a priori de la teoría de la valoración)? ¿Cómo surgen las valoraciones de Krull en la geometría algebraica?

Casi puedo recordar un ejemplo de esto. Creo que es posible dar una prueba rápida del Teorema de Lang-Nishimura -- que teniendo una suave $k$ -punto racional es un invariante biracional entre completos [hmm, ¡criterio valorativo!] $k$ -variedades. Creo que vi esto en algunas de las notas de la conferencia de Bjorn Poonen, pero se me olvida dónde. [El año pasado por estas fechas, habría enviado un correo electrónico a Bjorn. Estoy probando este nuevo enfoque en la teoría de que Bjorn puede responder si lo desea, y si no alguien más seguramente estará ansioso por decirme la respuesta].

¿Hay otros buenos ejemplos? ¿Tal vez algo relacionado con la resolución de singularidades?

Answer 1

Ya que lo has pedido, aquí tienes un poco sobre el papel de las valoraciones en el teorema de Lang-Nishimura, una versión del cual es la siguiente (mi versión implica la tuya):

Teorema (Lang-Nishimura): Sea $X \to \to Y$ sea un mapa racional entre $k$ -variedades, donde $X$ es integral y $Y$ es apropiado. Si $X$ tiene un suave $k$ -punto $x$ entonces $Y$ tiene un $k$ -punto.

Esquema de la prueba: Sea $K$ sea el campo de funciones de $X$ . El mapa racional da un $K$ -punto $Y$ . Si $\dim X=1$ entonces $\mathcal{O}_{X,x}$ es un anillo de valoración, por lo que el criterio valorativo de la propiedad da un $\mathcal{O}_{X,x}$ -punto de $Y$ que se reduce a $k$ -punto de $Y$ . Para $\dim X=n>1$ modifique el argumento por incrustación $K$ en un campo valorado con un grupo de valores $\mathbb{Z}^n$ y campo de residuos $k$ es decir, el campo de series de Laurent iteradas $F:=k((t_1))((t_2))\cdots((t_n))$ donde el $t_i$ son parámetros locales en $x$ . $\square$

1) Si se prefiere, se puede sustituir este uso del criterio valorativo por un rango $n$ valoración discreta con $n$ usos del criterio valorativo de rango $1$ valoraciones discretas: demuestre el lema de que si una variedad propia tiene un $L((t))$ -punto, entonces tiene un $L$ -y aplicar el lema $n$ veces. Así que para esta aplicación en particular, usted realmente no necesita las valoraciones de lujo.

2) Geométricamente, el teorema de Lang-Nishimura puede entenderse como sigue: Encontrar una curva lisa irreducible $C$ en $X$ a través de $x$ tal que $C$ no está totalmente contenida en el lugar de indeterminación de $\phi \colon X \to\to Y$ . Entonces $\phi|_C$ se extiende a un morfismo, y la imagen de $x$ es un $k$ -punto de $Y$ . (La existencia de $C$ no es completamente obvio, por lo que la prueba teórica de valoración es más limpia).

Answer 2

M. Temkin ha realizado recientemente un magnífico trabajo sobre un nuevo enfoque de la reducción semiestable para curvas relativas (sin siquiera suponer la propiedad, y sin utilizar información sobre las propiedades de los espacios de moduli, obteniendo en su lugar una prueba muy novedosa del teorema de la reducción semiestable y mucho más), y en él hace un uso muy creativo de los espacios de valoraciones de Zariski-Riemann.

Su método se basa en una estrategia muy ingeniosa. Mediante las técnicas teóricas de valoración de Zariski, y con suficiente unicidad a nuestra disposición para hacer el encolado, para ciertos tipos de problemas basta con trabajar sobre anillos de valoración. Ahora bien, si $R$ es un anillo de valoración, podemos agotar su campo de fracción $K$ por campos de fracciones $K_i$ de generación finita $\mathbf{Z}$ -y que $R_i$ sea el anillo de valoración inducido de $K_i$ . Muchos problemas "finitamente presentados" sobre $R$ puede reducirse al caso del $R_i$ por lo que podemos suponer (a muchos efectos) que $R$ contiene un $\mathbf{Z}$ -con el mismo campo de fracciones. ¿Y qué? Lo bueno es que en estos casos $R$ tiene "altura finita" en el sentido de la teoría de la valoración, y existe un procedimiento recursivo sencillo que construye anillos de valoración de altura finita en un número finito de pasos a partir de anillos de valoración de altura menor. Por tanto, si se ha establecido la técnica inductiva adecuada, es posible reducir el problema al caso de altura 1. Utilizando la "aproximación en la terminación" (que necesita algo de trabajo), a menudo es posible incluso reducir al caso de anillos de valoración de altura-1 completos. Ahora se puede recurrir a técnicas de geometría analítica rígida. Muy bonito: los problemas sobre esquemas generales a veces pueden reducirse a problemas de geometría analítica rígida, gracias al uso de espacios de anillos de valoración con altura no restringida.

Answer 3

Querido Pete,

Se trata de un comentario bastante general, más que de una respuesta precisa:

Las valoraciones generales fueron estudiadas muy profundamente por Zariski, que las utilizó como una de las de sus investigaciones sobre geoemtría birracional (incluidas varias formas de su Teorema de su Teorema Principal, resolución de singularidades, etc.). Su idea era que diferentes anillos de valoración (que dominan el anillo local dado $\mathcal O_P$ en un punto $P$ en una superficie $X$ ) corresponden a diferentes gérmenes de curvas que pasan por el punto $P$ . Las valoraciones de rango uno no son más que los gérmenes de curvas algebraicas que pasan por $P$ , pero las otras valoraciones son como curvas transcentrales que dan información adicional.

Creo que el propio Krull no vio que las valoraciones de rango superior estarían relacionadas con la geometría, sino que fue Zariski (que estudió a Krull muy detenidamente) quien vio la aplicabilidad, y las introdujo (y el concepto estrechamente relacionado de normalidad) en el geometría algebraica. (Creo que Zariski escribe sobre esto en alguna parte, aunque no recuerdo dónde). recuerdo dónde).

Este punto de vista persistió en la geometría algebraica hasta la revolución de Grothendieck. Quizá uno de los últimos resultados demostrados utilizando este punto de vista fue el teorema de incrustación de Nagata.

Al parecer, Grothendieck estaba muy descontento con la teoría de la valoración (y de hecho intentó mantenerla fuera de los textos de álgebra conmutativa de Bourbaki, sin éxito), y el único vestigio que sobrevivió en su punto de vista fueron los criterios valorativos de separación y propiedad.

Para terminar, permítanme que utilice esta tribuna para animar a la gente a leer los artículos de Zariski. Son maravillosos.

EDIT: Acabo de recordar que el libro de Lang sobre geometría algebraica, que es una especie de versión abreviada de los Fundamentos de Weil, utiliza la teoría de la valoración en varios puntos. (Recuerdo que se trata al principio del libro en la sección que trata de los conceptos fundacionales del álgebra, pero ahora no recuerdo exactamente qué demuestra con ella más adelante. Pero es un libro bastante corto, así que se puede hojear y ver. El libro entero no va tan lejos, así que es posible que aparezca sólo porque era algo endémico del álgebra conmutativa y la geometría algebraica de esa época, y no porque haga algo particularmente especial con ello).

EDIT: Después de pensar en esta pregunta Me he dado cuenta de que la afirmación anterior sobre las valoraciones de rango uno correspondientes a gérmenes de curvas algebraicas que pasan por un punto es engañosa. Véase mi respuesta aquí para un análisis (esperemos) más correcto de la intuición geométrica que subyace a diversas valoraciones.

Answer 4

Una pregunta extraña y difícil es si existe un esquema sin ningún punto cerrado. Es muy tentador pensar que, puesto que un esquema afín sí tiene puntos cerrados (corresponden a ideales máximos de su anillo), se podría reducir al caso afín y demostrar que un esquema arbitrario tiene necesariamente un punto cerrado. Pero esto es falso: existen esquemas sin puntos cerrados. Y todas las construcciones que conozco, con una excepción, utilizan un anillo de valoración $V$ con enorme grupo de valoración: exactamente lo que necesita . Toman el esquema afín $Spec(V)$ y el esquema requerido es $Spec(V)\setminus {M}$ donde $M$ corresponde al ideal máximo de $V$ . El ejemplo más sencillo está en el libro de Qing Liu, ejercicios 3.26, 3.27 página 113,114 (atribuye esta construcción a Florian Pop).

La excepción que he mencionado antes se basa en la caracterización de Hochster de los espacios topológicos que surgen como espectros de esquemas afines. Se toma un espacio de este tipo con un solo punto cerrado y (sí, lo has adivinado) se elimina. Los detalles están en la lista de publicaciones de Ravi Vakil, al final de la página, Miscelánea 3.

http://math.stanford.edu/~vakil/preprints.html

El inconveniente de este enfoque sin anillos de valoración es que hay que leer el artículo de Hochster, que (aunque bastante interesante) es muy técnico, como reconoce el propio Hochster.

Answer 5

Sea $F/K$ sea un campo de funciones algebraico. El conjunto $Z$ de todos los anillos de valoración de $F$ que contienen $K$ puede identificarse con el límite proyectivo de todas las proyecciones (propias) $K$ -variedades $X$ teniendo $F$ como su campo de función. En general $Z$ es un espacio anillado pero no un esquema. Por construcción está claro que $Z$ codifica la información geométrica.