Contexto de "Coronidis Loco" de Teoría básica de números de Weil

Question

En el artículo de Samuel James Patterson titulado Sumas de Gauss en La formación de la aritmética a partir de las Disquisitiones Arithmeticae de C. F. Gauss Patterson dice

"Hecke [demostró] un bello teorema sobre los diferentes de k, a saber, que la clase de los diferentes absolutos en el grupo de clases ideales es un cuadrado. Este teorema -un análogo del hecho de que la característica de Euler de una superficie de Riemann es par- es el momento culminante (coronidis loco) tanto del libro de Hecke como de la Teoría Básica de Números de Andre Weil."

Sobre el mismo asunto, J.V. Armitage dice (en su reseña de la traducción de 1981 del libro de Hecke):

"Ese hermoso teorema ocupa merecidamente el 'coronidis loco' en la obra de Weil Teoría básica de números y fue el punto de partida de los trabajos sobre problemas de paridad en teoría algebraica de números y geometría algebraica, que tan ricos frutos han dado en los últimos quince años".

Qué es una referencia para aprender problemas de paridad a los que alude Armitage?

Puede resultar imposible verbalizar las razones de las preferencias estéticas, pero

¿Por qué Weil, Patterson han quedado tan favorablemente impresionados por el teorema de que la clase ideal de los diferentes de un campo numérico es un cuadrado en el grupo de clases ideales?

Weil no comenta por qué decidió poner fin Teoría básica de números con el teorema anterior. Hay que tener en cuenta que el libro de Weil abarca la fórmula de los números de clase y toda la teoría de campos de clase, por lo que el estándar con el que se está midiendo el teorema anterior en las citas anteriores ¡es alto!

Answer 1

No es difícil ver que si $L/K$ es una extensión de campos numéricos, entonces el discriminante de $L/K$ que es un ideal de $K$ es un cuadrado en el grupo de clase ideal de $K$ . El teorema de Hecke eleva este hecho a la distinta. (Recordemos que el discriminante es la norma de la distinta).

Si recuerda que la inversa diferente $\mathcal D_{L/K}^{-1}$ es igual a $Hom_{\mathcal O_K}(\mathcal O_L,\mathcal O_K),$ se ve que el inverso diferente es la gavilla dualizadora relativa de $\mathcal O_L$ en $\mathcal O_K$ es análogo al haz canónico de una curva (que es el haz dualizante de la curva sobre el campo fundamental). Decir que $\mathcal D_{L/K}$ o, de forma equivalente $\mathcal D_{L/K}^{-1}$ es un cuadrado es lo mismo que decir que existe un proyectivo de rango 1 $\mathcal O_L$ -módulo $\mathcal E$ tal que $\mathcal E^{\otimes 2} \cong \mathcal D_{L/K}^{-1}$ es decir, que se puede tomar una raíz cuadrada de la gavilla de dualización. En el caso de las curvas, se trata de la existencia de características theta.

Así pues, aparte de todo lo demás (y como se indica en la cita que figura en la pregunta), el teorema de Hecke refuerza significativamente la analogía entre los anillos de enteros en campos de números y las curvas algebraicas.

Si quieres pensar más aritméticamente, es una especie de ley de reciprocidad. Expresa de alguna manera una condición sobre la ramificación de una extensión arbitraria de campos numéricos: sea como sea que se produzca la ramificación, en conjunto debe ser tal que los diferentes primos ramificados se equilibren de alguna manera para tener $\prod_{\wp} \wp^{e_{\wp}}$ sea trivial en el grupo de clases mod $2$ (donde $\wp^{e_{\wp}}$ es la distinta local en un primo $\wp$ ). (Y volviendo a la analogía: se supone que esto es por analogía con el hecho de que si $\omega$ es cualquier diferencial meromorfa en una curva, entonces la suma de los órdenes de todos los divisores y polos de $\omega$ es par). Obsérvese que Hecke demostró su teorema como una aplicación de la reciprocidad cuadrática en un campo numérico arbitrario.

Answer 2

Los problemas de paridad a los que alude Armitage incluyen el teorema de Hecke, así como a otros (y relacionados) problemas de paridad planteados por Froehlich en su teoría de los módulos de Galois. Para un par de referencias, véase el capítulo 11 de "Reciprocity Laws", por ejemplo en texto del enlace

franz lemmermeyer