Utiliza la inducción para demostrar que $F_{2n} \equiv n(-1)^{n + 1} \pmod 5 \forall n \ge 1$

Question

Con $F_n$ en $n^{\textrm{th}}$ Número de Fibonacci, utilice la inducción para demostrar que $F_{2n} \equiv n(-1)^{n + 1} \pmod 5$ para todos $n \ge 1$ .

Me he esforzado en probar esta identidad, pero cada vez me falla el ajuste del exponente de " $-1$ ". Estaría bien que alguien aportara pruebas.

Gracias

Answer 1

Pista: A veces es más fácil probar algo más fuerte. Probar simultáneamente que

• $F_n \equiv 2n \bmod 5$ cuando $n \equiv 0 \bmod 4$

• $F_n \equiv 1n \bmod 5$ cuando $n \equiv 1 \bmod 4$

• $F_n \equiv 3n \bmod 5$ cuando $n \equiv 2 \bmod 4$

• $F_n \equiv 4n \bmod 5$ cuando $n \equiv 3 \bmod 4$

Answer 2

Pista: Demostrar que $F_n \equiv 2n \cdot 3^n \bmod 5$ .

(Esto procede de la fórmula de Binet mod $5$ porque $3$ es una raíz doble de $x^2-x-1$ .)