Demostrando que una función absoluta integrable monótona decreciente $f: [1,\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ está en $L^p([1,\infty[)$

Question

Para un ejercicio de mi curso de análisis, tengo que demostrar que: si $f: [1,\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ es monótona decreciente y $f \in L^1([1,\infty[)$ entonces $f \in L^p([1,\infty[)$ para cada $p > 1$ .

Defina $f_+ = \max(f,0)$ y $f_{-} = \max(-f,0)$

Probé varias cosas: Mi conjetura es que tengo que utilizar la integral de $|f|$ para proporcionar un límite superior para la integral de $|f|^p$ . He probado lo siguiente:

$|f| = f_+ + f_-$ . Entonces $f_+$ es monótona decreciente y $f_-$ es monótona creciente. Además $|f|^p = f_+^p + f_{-}^p$ desde $f^+$ y $f_{-}$ nunca son distintos de cero juntos. Por lo tanto $$\int_{[1,\infty[} |f|^p d\lambda = \int_{[1,\infty[} f_+^p d\lambda + \int_{[1,\infty[} f_+^p d\lambda$$

Ahora quiero intentar poner en juego la monotonicidad. Sea $g_k = f_+ \cdot \chi_{[k,k+1[}$ entonces $f_+ = \sum^\infty_{k=0} g_k$ . Podemos encontrar una secuencia similar para $f_{-}$ Llamemos a ese $h_k$ .

\begin{align*}\int_{[1,\infty[} f_+^p d\lambda + \int_{[1,\infty[} f_+^p d\lambda &= \int_{[1,\infty[}(\sum^\infty_{k=0} g_k)^p d\lambda+ \int_{[1,\infty[}(\sum^\infty_{k=0} h_k)^p d\lambda \\&= \int_{[1,\infty[} \sum^\infty_{k=0} g_k^p d\lambda+ \int_{[1,\infty[}\sum^\infty_{k=0}h_k^p d\lambda \\& = \sum^\infty_{k=0} \int_{[1,\infty[} g_k^p d\lambda+ \sum^\infty_{k=0}\int_{[1,\infty[}h_k^p d\lambda\end{align*} Se nos permite introducir el exponente porque para cada $x$ sólo uno de ellos es distinto de cero.

\begin{align*} \sum^\infty_{k=0} \int_{[1,\infty[} g_k^p d\lambda+ \sum^\infty_{k=0}\int_{[1,\infty[}h_k^p d\lambda &\leq \sum^\infty_{k=0} \int_{[1,\infty[} f_{+}(k)^p\chi_{[k,k+1[} d\lambda+ \sum^\infty_{k=0}\int_{[1,\infty[}f_{-}(k+1)^p\chi_{[k,k+1[} d\lambda\\ &= \sum^\infty_{k=0}(f_{+}(k)^p + f_{-}(k+1)^p)\end{align*}

Ahora no estoy seguro de cómo proceder. ¿Estoy buscando en la dirección equivocada? Por favor, ¡déme sólo pistas!

Answer 1

Tenga en cuenta en primer lugar que $f_- = 0$ como si $f_-(x^*) > 0$ para cada $x \ge x^*$ tenemos $f(x) \le f(x^*) < 0$ lo que implica que $f$ no es integrable. Ahora elige $x^*$ tal que para $x \ge x^*$ tenemos $f(x) \le 1$ . Entonces \begin{align*} \int_1^\infty f(x)^p\, dx &= \int_1^{x^*} f(x)^p\, dx + \int_{x^*}^\infty f(x)^p\, dx\\ &\le \int_1^{x^*} f(1)^p\, dx + \int_{x^*}^\infty f(x)\, dx\\ &\le (x^*-1) \cdot f(1)^p + \int_1^\infty f(x) \, dx\\ &< \infty. \end{align*}

Answer 2

Si su función es monótona y decreciente en $[1,\infty[$ entonces su función debe ser positiva (si es negativa en algún momento, no será integrable).

Así que no sé (todavía) la forma de proceder, pero no estoy seguro de que estés en la dirección correcta.

Espero que esto pueda ayudar.