$\arcsin x- \arccos x= \pi/6$ difícil conclusión

Question

No entiendo una conclusión en la siguiente ecuación. Para entender mi problema, por favor, lea los pasos de ejemplo y mis preguntas a continuación.

Resuelve:

$\arcsin x - \arccos x = \frac{\pi}{6}$

$\arcsin x = \arccos x + \frac{\pi}{6}$

Sustituir $u$ para $\arccos x$

$\arcsin x = u + \frac{\pi}{6}$

$\sin(u + \frac{\pi}{6})=x$

Utilizar la identidad de suma para $\sin (A + B)$

$\sin(u + \frac{\pi}{6}) = \sin u \cos\frac{\pi}{6}+\cos u\sin\frac{\pi}{6}$

$\sin u \cos \frac{\pi}{6} + \cos u\sin\frac{\pi}{6} =x$

Hasta aquí entiendo el problema. La siguiente conclusión no la entiendo:

$\sin u=\pm\sqrt{(1 - x^2)}$

¿Cómo llega este ejemplo a esta conclusión? ¿Qué identidades pueden haberse utilizado? Llevo un rato dándole vueltas a esta ecuación y sigo perplejo. Se agradecen todos los consejos.

Nota: Este fue un problema de libro de texto

Answer 1

La forma más fácil de hacerlo es empezar por:

$\arccos x = \frac {\pi}{2} - \arcsin x$

Entonces tu problema se convierte en

$2\arcsin x - \frac {\pi}{2} = \frac {\pi}{6}\\ x = \sin \frac {\pi}{3} = \frac {\sqrt3}2$

¿Y ahora qué has hecho?

$\sin (u + \frac \pi6) = x\\ \frac 12 \cos u + \frac {\sqrt{3}}{2}\sin u = x\\ \frac 12 x + \frac {\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-x^2} = x$

¿Por qué $\sin (\arccos x) =\sqrt {1-x^2}?$

Dibuja un triángulo rectángulo con base $= x$ y la hipotenusa $= 1.$
Para ese ángulo $u, \cos u = x.$ ¿Cuál es la longitud de la pierna opuesta? $\sqrt {1-x^2}$

La gama de $\arccos x$ es $[0, \pi]$ así que $\sin (\arccos x) \ge 0$

$\sqrt{3}\sqrt{1-x^2} = x\\ \sqrt{3}(1-x^2) = x^2\\ 4x^2 = 3\\ x = \sqrt{\frac 34} $

Podemos rechazar la raíz negativa como $x$ debe ser mayor que $0$ como $\arcsin x - \arccos x < 0$ cuando $x<0$

Answer 2

Pista:

si $u=\arccos (x)$ que

$\cos u=x$

y

$\sin u=\pm\sqrt{1-\cos^2u}=\pm \sqrt{1-x^2}$

sustituye y eleva al cuadrado tu ecuación y tendrás

$ \frac{3}{4}(1-x^2)=\frac{1}{4}x^2 $

que pueden resolverse, (con cuidado con las soluciones inadecuadas).