¿Podemos saber si es un $1D$ o un $2D$ movimiento con sólo observar la relación posición-tiempo?

Question

¿Cómo puedo saber si se trata de un $2D$ o un $1D$ movimiento, con sólo mirar las ecuaciones posición-tiempo, o velocidad-tiempo, o aceleración-tiempo?

Tal vez la pregunta no sea muy clara, no estoy seguro de haberla entendido bien, así que intentaré utilizar algunos ejemplos para que la pregunta quede más clara.

Tenemos una ecuación posición-tiempo : $\vec r$ = $6t^2$$ \hat i$ + $3t^2$$ \hat j$

Es fácil ver que se trata de un $1D$ movimiento, porque su ecuación de lugar es una línea recta.

Lo mismo digo, $\vec r$ = $5t$$ \hat i$ + $2t^2$$ \hat j$ es un $2D$ porque la ecuación de su trayectoria es una parábola.

Otros ejemplos de movimientos bidimensionales son :

$\vec r$ = $30t$$ \hat i$ + ( $20$ - $10t^2$ ) $\hat j$ (movimiento de proyectil)
$\vec r$ = $sin2t$$ \hat i$ + $cos2t$$ \hat j$ (Movimiento circular)

¿Cómo sabía que eran $2$ -¿Movimientos dimensionales? He comprobado sus ecuaciones de trayectoria.

Mi pregunta es, ¿es posible saber sólo mirando las ecuaciones posición-tiempo, si el cuerpo se mueve en línea recta o cambiando de dirección (es decir $2D$ movimiento), sin comprobar su ecuación de trayectoria?

Answer 1

En general, los vectores de posición tienen la forma siguiente $$\mathbf x=f(t)\hat i+g(t)\hat j$$ Pensemos ahora qué es lo primero que se enseña cuando se aprenden las líneas. En el plano x-y, una recta puede describirse mediante $$y=mx+b$$ Ahora, probablemente puedas convencerte de que nuestros componentes vectoriales $\langle i,j\rangle$ pueden verse como coordenadas $(x,y)$ . Por lo tanto, nuestro movimiento es a lo largo de una línea si $$g(t)=mf(t)+b$$ para constantes $m$ y $b$ . (A menos que $f$ es una función constante, entonces $g$ puede ser cualquier cosa y seguiremos teniendo una línea sin seguir esta forma (análoga a las líneas de la forma $x=c$ ). Excepto si $f$ y $g$ son ambos funciones constantes, entonces sólo estás sentado en un punto).

Answer 2

Mi solución:

Caso 2D

dado el vector de posición $\vec {R}$ con el parámetro $t$

$$\vec{R}=\left[ \begin {array}{c} x\\y\end {array} \right]=\left[ \begin {array}{c} f \left( t \right) \\ g \left( t \right) \end {array} \right] $$

Ansatz $y(x)=a\,x+b$ la pendiente $a$ debe ser const.!, $\quad$ con $a$

$$a=\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\frac{d g}{dt}}{\frac{df}{dt}}=\text{const}\tag 1\quad \frac{df}{dt}\ne 0 $$

Caja 3D

$$\vec{R}= \left[ \begin {array}{c} x\\ y\\ z\end {array} \right] =\left[ \begin {array}{c} f \left( t \right) \\ g \left( t \right) \\ u \left( t \right) \end {array} \right] $$

Ansatz $z(x,y)=a\,x+b\,y+c$ la pendiente $a$ y $b$ debe ser const.!, $\quad$ con $a$

$$a=\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\frac{d u}{dt}}{\frac{df}{dt}}=\text{const}\tag 2,\quad \frac{df}{dt}\ne 0$$ y $$b=\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\frac{d u}{dt}}{\frac{d g}{dt}}=\text{const}\tag 3,\quad \frac{dg}{dt}\ne 0$$

Exemple $$\vec{R}=\left[ \begin {array}{c} 6\,{t}^{2}\\ 3\,{t}^{2} \end {array} \right] $$

$a=\frac{1}{2}=\text{const}$ función lineal

$$\vec{R}= \left[ \begin {array}{c} \sin \left( 2\,t \right) \\ \cos \left( 2\,t \right) \end {array} \right] $$

$a=\tan(2\,t)$ función no lineal

$$\vec{R}= \left[ \begin {array}{c} {t}^{2}-10\\{t}^{2}+5 \\{t}^{2}\end {array} \right] $$

$a=1\quad,b=1$ función lineal