n-simplex en una intersección de n bolas

Question

Considere cualquier $n$ -simple, $n \geq 2$ . Para cada arista $(i,j)$ considera $n$ -bola $B_{ij}$ tal que los vértices $x_i$ y $x_j$ son antípodas en esta bola. Fijar un punto $x_0$ en el simplex. La pregunta: ¿es $x_0$ en al menos $n$ ¿Bolas?

Algunas notas. La cuestión no puede reforzarse afirmando, por ejemplo, que existe un vértice $i=i(x_0)$ tal que $x_0$ está en todas las bolas $B_{ij},j \neq i$ . Además, no es cierto para $n+1$ bolas (hay contraejemplos para ambos casos si $n=3$ ).

Por si acaso, $x_0$ está en bola $B_{ij}$ sólo si $\angle x_ix_0x_j \geq \pi/2$ o, lo que es lo mismo, los vértices $x_i$ y $x_j$ están en lados opuestos del hiperplano $H_i$ que contiene $x_0$ y es ortogonal a la línea que pasa por $x_i$ y $x_0$ (y análogamente para $H_j$ ).

Además, esta pregunta es una versión más fuerte de esa pregunta (gracias a zeb para resolverlo).

Cualquier ayuda es muy apreciada. Muchas gracias.

Answer 1

Sí, porque un grafo conexo ( $i\sim j$ si $\angle x_ix_0x_j$ es más que $\frac\pi 2$ ) con $n+1$ vértices tiene al menos $n$ bordes. El grafo está conectado porque (suponiendo WLOG que $x_0=0$ está estrictamente dentro del simplex) existe una combinación lineal $\sum_j y_j=0$ donde $y_j=c_jx_j$ , $c_j>0$ . Si hay dos componentes no conectados, basta con calcular el producto escalar de las sumas correspondientes de dos maneras: una utilizando la definición de arista y otra utilizando el hecho de que las sumas son simplemente los opuestos entre sí.

Me gustan las preguntas del estilo AoPS, pero, sinceramente, pertenecen allí, ¡no aquí!