Medida de Lebesgue de subconjunto propio $A \subset [0, 1]$ .

Question

Sea $A$ sea un subconjunto de $[0, 1]$ tal que para cada $a$ en $A$ $a$ sólo tiene un número finito de 1 en su expansión con base numérica 3.

Luego traté de calcular la medida de su cumplido $B$ que consiste sólo en números con infinitas unidades en su expansión.

Tengo la idea de que la medida de $B$ est $1/3$ . $B$ no puede ser cubierto por intervalos de longitud inferior a $1/3$ .

Así que necesito probarlo formalmente.

Gracias.

Answer 1

Tal vez conozcas el Conjunto de Cantor $\mathcal C$ que es conocido por su propiedad de ser un conjunto incontable de medida (Lebesgue) cero. También tiene la propiedad de estar formado por todos los números de $[0,1]$ sin $1$ en su expansión ternaria (es decir, expresados en base $3$ ). Se genera empezando por $[0,1]$ eliminando iterativamente la tercera central de todos los intervalos restantes.

A partir de ahí podemos construir $\mathcal C_k$ el conjunto de números sin $1$ después de la primera $k$ dígitos de la expansión ternaria, de la siguiente manera:

$$\mathcal C_k=\frac1{3^k}\cdot\bigcup_{i=0}^{3^k-1} (\mathcal C+i).$$

Todas las operaciones aritméticas se consideran por elementos. Esto da una versión escalada de $3^k$ Conjuntos Cantor pegados de extremo a extremo. ¿Por qué funciona? Observa que $\mathcal C+i$ consiste en todos los números sin $1$ en la expansión ternaria después de el separador (me refiero al " $.$ " para separar la parte fraccionaria de la entera, no tengo una palabra mejor), pero el $i$ genera todas las combinaciones posibles de los $k$ dígitos de $\{0,1,2\}$ delante del separador. Ahora, dividiendo por $3^k$ reducimos el conjunto a $[0,1]$ y así llevar todas estas combinaciones detrás del separador. Tenga en cuenta que $\mathcal C_k$ es una unión finita de conjuntos de medida cero, por tanto, ella misma de medida cero.

Ahora tu set $A$ puede darse como

$$A=\bigcup_{k\in\Bbb N} \mathcal C_k.$$

Porque finitamente muchos $1$ significa que debe haber una última, por ejemplo, en el lugar $k$ sabemos que este número está contenido en $\mathcal C_k$ . Así que vemos que está contenido en $A$ . Y como unión contable de conjuntos nulos, es de medida cero.