Probabilidad [Bolas distintas en casillas distintas]

Question

Se colocan 6 bolas diferentes en 3 cajas distintas, sin que ninguna esté vacía. La probabilidad de colocar bolas en las cajas en igual número es ? ¿Podría alguien dar la respuesta y explicarla?

Answer 1

Contamos el número de formas de meter las bolas en las cajas por exclusión de inclusión. Hay $3^6$ formas de distribuir las bolas entre las cajas, pero no admitimos las formas de distribuir las bolas entre las cajas en las que una caja está vacía, es ${3\choose 1}2^6$ . Luego hay que sumar las veces que dos casillas están vacías ${3\choose 2}1^6$ . Entonces, tenemos:

$$ 3^6-3\cdot 2^6+3\cdot 1 $$

Entonces sólo tenemos que calcular el número de formas en que cada caja puede acabar conteniendo dos bolas.

Si pensamos en una permutación del $6$ bolas, e interpretamos que los dos primeros elementos van en la primera caja, los dos siguientes van en la segunda caja, y los dos terceros van en la tercera caja, entonces vemos que hay $6!$ formas de colocar las bolas uniformemente en las tres cajas donde las bolas están ordenadas en las cajas. Entonces tenemos que dividir por $2^3$ porque el orden de los elementos en sus distintas agrupaciones no importa.

Entonces, la probabilidad final es:

\begin{equation} \frac{6!/2^3}{3^6-3\cdot 2^6+3\cdot 1}\approx 0.16667 \end{equation}

Answer 2

Tenga en cuenta que las bolas y cajas son ambas distintas.

Selecciona 2 bolas en cada una de las 3 casillas, cuenta las permutaciones de las seis bolas. Formas de disponer 6 bolas, 2 en cada casilla: $N(2,2,2)=\frac{6!}{2!2!2!}$ Eso son permutaciones de las seis bolas, divididas por permutaciones de bolas en cada caja (ya que el orden en la caja no importa).

Selecciona la casilla 1 para tener 4 bolas, permuta las bolas. Formas de disponer 6 bolas, 1 en cada una de 2 casillas y 4 en la tercera: $N(1,1,4) = \frac{6!}{4!}\times {3 \choose 1} = \frac{6!}{4!}\times 3$

Selecciona 1 de las 3 casillas para tener 3 bolas, selecciona 1 de las 2 restantes para tener 2 bolas, permuta las bolas. Formas de disponer 6 bolas, 1 en una casilla, 2 en otra, 3 en la tercera: $N(1,2,3) = \frac{6!}{2!3!}\times{3 \choose 1}{2 \choose 1} = \frac{6!}{2!3!} \times 3 \times 2$

Dado que ninguna caja puede estar vacía, ésas son todas las formas de llenar las cajas. Así que queremos que la probabilidad : $$\dfrac{N(2,2,2)}{N(2,2,2)+N(1,1,4)+N(1,2,3)} \\ = \dfrac{\frac{1}{2!2!2!}}{\frac{1}{2!2!2!}+\frac{3}{4!}+\frac{1}{3!2!}\cdot 3\cdot 2} \\ = \frac{4!}{4!+2!2!2!3+2!2!4!} \\ = \dfrac{1}{6}$$