Probar o refutar: existe un homomorfismo suryectivo $\phi:\mathbb{Q}[x] \rightarrow \mathbb{Z}$ .

Question

Probar o refutar: existe un homomorfismo suryectivo $\phi:\mathbb{Q}[x] \rightarrow \mathbb{Z}$ .

Inténtelo . Creo que no existe tal función. Por supuesto $\phi(1)=1$ pero si $\phi(x)=k_0$ entonces no puedo ver como saco una contradiccion de aqui.

Gracias de antemano.

Answer 1

Hay no homomorfismo de anillo* $\alpha\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ .

De hecho, como un grupo aditivo, $\mathbb{Q}$ es divisible, por lo que la imagen de $\alpha$ también es divisible y el único subgrupo divisible de $\mathbb{Z}$ est $\{0\}$ . Desde $\mathbb{Q}$ es un subring de $\mathbb{Q}[x]$ Hemos terminado.

Desde otro punto de vista, si $F$ es un campo y $f\colon F[x]\to\mathbb{Z}$ es un homomorfismo de anillo, entonces $f(F)$ es un subcampo** de $\mathbb{Z}$ Así que

_{* Aparte del mapa cero, si no necesita $\alpha(1)=1$ .
** O el subringulo cero, si no asumes que los anillos son unitales.}