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Encontrar el punto o puntos de la elipse más próximos al origen

La pregunta se refiere a los puntos más cercanos al origen de la elipse. $5x^2-6xy+5y^2=8$

He utilizado la fórmula de la distancia $d^2=x^2+y^2$

Y encontró que los componentes x e y son $2x=(10x-6y) \lambda$ y $2y=(10y-6x) \lambda$ .

$\frac{2x}{2y} =\frac{(10x-6y)\lambda}{(10y-6x)\lambda}$

$10xy-6x^2 =10xy-6y^2$
$-6x^2=-6y^2$
$x^2=y^2$
$x=y$

$5x^2 -6x^2+5x^2 =8$ => $4x^2 =8$ => $x=\pm2$ ; $y=\pm2$

Cuando resolví para x e y obtuve que ambas eran $x=\pm 2$ y $y=\pm2$ No estoy seguro si esto es correcto no pero cuando grafiqué la elipse mis puntos aparecen fuera de la elipse. Por favor, hágamelo saber si este es el método correcto para resolver esto y si lo estoy haciendo correctamente. [ ] Imagen de la elipse

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Quanto Puntos 21

Tome la derivada de

$$5x^2-6xy+5y^2=8$$

$$y’=\frac{3y-5x}{5y-3x}$$

Si el punto de la curva es el más cercano al origen, se puede establecer la siguiente relación,

$$ -\frac xy =\frac{3y-5x}{5y-3x}$$

que conduce a

$$x=\pm y$$

Enchufe $x=-y$ en la ecuación original para obtener

$$x^2=\frac 12$$

Así, los puntos más cercanos son $(\frac{1}{\sqrt 2},-\frac{1}{\sqrt 2})$ y $(-\frac{1}{\sqrt 2},\frac{1}{\sqrt 2})$ .

Obsérvese que la línea que une estos dos puntos es el eje menor. La otra solución $x=y$ conduce a los dos puntos a lo largo del eje mayor, que no son los más cercanos. Te estabas centrando en $x=y$ en lugar de $x=-y$ .

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amd Puntos 2503

Te iba bien hasta que pasaste de $x^2=y^2$ a $x=y$ Otra posibilidad es $x=-y$ . El segundo error se produjo en $4x^2=8$ las soluciones son $\pm\sqrt2$ no $\pm2$ por eso los puntos no estaban en la elipse. Esto le da un par de puntos, $\pm(\sqrt2,\sqrt2)$ a una distancia de $2$ desde el origen.

Ahora tienes que probar la otra solución posible para $x^2=y^2$ . Configuración $y=-x$ finalmente obtenemos la ecuación $16x^2=8$ que da lugar a los puntos $\pm(1/\sqrt2,-1/\sqrt2)$ a una distancia de $1/2$ desde el origen, así que estas son las soluciones a tu ejercicio.

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