Puntos cerrados frente a puntos racionales en los esquemas

Question

Antecedentes: Cuando Ueno construye el functor totalmente fiel de Var/k a Sch/k menciona que la variedad $V$ pueden identificarse con los puntos racionales de $t(V)$ en $k$ . Sé cómo demostrarlo en todo lo afín y resolveré el caso general en el futuro.

La pregunta que esto me hizo plantearme fue si $X$ es un $k$ -esquema donde $k$ es algebraicamente cerrado, entonces son las $k$ -puntos racionales de $X$ ¿sólo los puntos cerrados? Esto es probablemente muy conocido, pero no puedo encontrarlo explícitamente ni puedo encontrar un contraejemplo.

Pour $k$ no es algebraicamente cerrado, puedo dar ejemplos en los que esto no es cierto. Entonces, en general, ¿existe alguna relación entre los puntos cerrados y los puntos racionales en esquemas (todo sobre $k$ )?

Esto daría un poco más de luz sobre lo que hace este functor. Toma la variedad y convierte todos los puntos en puntos cerrados de un esquema, luego añade los puntos genéricos necesarios para convertirlo realmente en un esquema legítimo. Pensamientos tangenciales generales sobre esto son bienvenidos también.

Answer 1

Si $k$ es algebraicamente cerrado y $X$ es un $k$ -localmente de tipo finito, entonces el $k$ -racionales son precisamente los puntos cerrados. (Véase EGA 1971, Cap. I, Corollaire 6.5.3).

En términos más generales: si $k$ es un campo y $X$ es un $k$ -localmente de tipo finito, entonces $X$ es un esquema de Jacobson (es decir, es cuasi isomorfo a su ultraesquema subyacente) y los puntos cerrados son precisamente los puntos $x \in X$ tal que $\kappa(x)|k$ es una extensión finita.

También debe consultar el apéndice del EGA 1971. Allí se demuestra que para cualquier campo $k$ la categoría de $k$ -localmente de tipo finito con morfismos localmente de tipo finito es equivalente a la categoría de $k$ -ultrasquemas (a $k$ -es localmente el espectro máximo de un $k$ -álgebra).

Answer 2

El siguiente resultado trata del caso de esquemas afines de tipo finito sobre un campo arbitrario $k$ .

Teorema: Sea $A$ sea un álgebra finitamente generada sobre un campo $k$ . Sea $\iota: A \rightarrow \overline{A} = A \otimes_k \overline{k}$ .
a) Para todo ideal maximal $\mathfrak{m}$ de $A$ el conjunto $\mathcal{M}(\mathfrak{m})$ de ideales maximales $\mathcal{M}$ de $\overline{A}$ tumbado $\mathfrak{m}$ es finito y no vacío.
b) La acción natural de $G = \operatorname{Aut}(\overline{k}/k)$ en $\mathcal{M}(\mathfrak{m})$ es transitiva. Así, $\operatorname{MaxSpec}(A) = G \backslash \operatorname{MaxSpec}(\overline{A})$ .
c) Si $k$ es perfecto, el tamaño del $G$ -órbita encendida $\mathfrak{m} \in \operatorname{MaxSpec}(A)$ es igual al grado de la extensión de campo de $k$ generado por las coordenadas en $\overline{k}^n$ de cualquier $\mathcal{M}$ tumbado $\mathfrak{m}$ .

En resumen, los puntos cerrados corresponden a las órbitas de Galois de los puntos geométricos.

Este es el teorema 8 de http://alpha.math.uga.edu/~pete/8320notas3.pdf .

La prueba se deja como ejercicio, con algunas sugerencias.

Ahora no recuerdo exactamente de dónde procedía este resultado. El texto del curso al que acompañan estos apuntes era el de Qing Liu Geometría algebraica y curvas aritméticas (¡+1!), por lo que es muy probable que haya al menos algún resultado afín.

Answer 3

Es cierto para esquemas de tipo finito sobre $k$ (algebraicamente cerrado) que los puntos cerrados son exactamente los $k$ -puntos. Para ver esto, observe que si $x \in X$ es un punto cualquiera, entonces el cierre $\overline{\{x\}}$ dotado de su estructura de subesquema reducido, es integral y tiene dimensión igual al grado de trascendencia de su campo de funciones sobre $k$ (Hartshorne, ejercicio 3.20 del capítulo 2). Espero que haya quedado suficientemente claro.

Pour $k$ -scheme que no son (localmente) de tipo finito, esto no funciona, como Martin muestra a continuación.