Sobre la base de la ampliación del campo

Question

Ok, entonces, $\mathbb{Q} (\sqrt{3} + \sqrt{5})$ significa todos los números $ a + b (\sqrt{3} + \sqrt{5}) $ con $a,b \in \mathbb{Q}$ .

Así que sepan que $ \sqrt{3} + \sqrt{5} $ es algebraica de orden 4 en $ \mathbb{Q} $ por lo que la base de $\mathbb{Q} (\sqrt{3} + \sqrt{5})$ en $\mathbb{Q}$ debe ser $\{1, \sqrt{3} + \sqrt{5}, (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 , (\sqrt{3} + \sqrt{5})^3 \}$ .

¿Pero no debería ser sólo $\{1, \sqrt{3} + \sqrt{5} \}$ ? Porque cualquier elemento debería ser una combinación lineal de sólo estos dos, ¿no? ¿Qué me falta?

Answer 1

$\mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{5})$ no es igual a lo que escribiste, pero es igual al campo más pequeño que contiene $\mathbb{Q}$ y $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ (y que es igual a $\{a+b(\sqrt{3}+\sqrt{5})+c(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2+d(\sqrt{3}+\sqrt{5})^3, a,b,c,d\in\mathbb{Q}\}$ ).

En general $\mathbb{Q}(a)$ denota la extensión de campo más pequeña de $\mathbb{Q}$ que contiene $a$ y que no siempre es igual a $\{q_1+q_2a, q_1,q_2\in\mathbb{Q}\}$ (es por ejemplo cuando $a=\sqrt{n}$ para algunos $n$ .. pero no en la mayoría de los casos. De hecho, es lo que escribió si y sólo si $a$ es algebraica de orden 2).

Answer 2

Toma $\def\Q{\mathbb Q}$ $(\sqrt3+\sqrt5)^2-8=2\sqrt{15}$ que no sea un elemento de $\Q+(\sqrt3+\sqrt5)\Q$ .

todos los números $ a + b (\sqrt{3} + \sqrt{5}) $ con $a,b \in \mathbb{Q}$

Usted denotaría que $\Q$ -módulo como $\Q + (\sqrt{3} + \sqrt{5})\Q$ .

Notación $\Q(\zeta)$ denota el campo más pequeño que contiene $\Q$ y $\zeta$ una extensión de campo finito de $\Q$ si $\zeta$ es algebraico. $\Q(\zeta)$ también puede considerarse $\Q$ -módulo, pero en general no es lo mismo que $\zeta\Q$ o $\Q+\zeta\Q$ y su fundamento no es tan obvio.

Answer 3

$\mathbb Q(\alpha)$ no significa "todos los números $a + b\alpha$ "se refiere al campo más pequeño que contiene $\mathbb Q$ y $\alpha$ lo que significa que todas las funciones racionales en $\alpha$ . Por ejemplo $\frac{1 + 2\alpha^3 - \alpha^5}{3\alpha - \alpha^4}$ . Es un teorema que cuando $\alpha$ es algebraico, siempre se pueden despejar los denominadores de forma que $\mathbb Q(\alpha) = \mathbb Q[\alpha] = $ el anillo más pequeño que contiene $\mathbb{Q}$ y $\alpha = $ todos los polinomios en $\alpha$ .

Entonces, si $\alpha$ satisface un polinomio como $\alpha^n + a_{n - 1}\alpha^{n - 1} + \dots + a_0=0$ siempre se pueden reducir potencias mayores de $\alpha$ sustituyendo $\alpha^n$ con $-(a_{n - 1}\alpha^{n - 1} + \dots + a_0)$ .