Recuerdo haber leído el "Teoría Elemental de Números" de Weil y rendirme después de un tiempo. Ahora me encuentro pensando en ello (gracias a algunos comentarios de Ben Linowitz).
Desde el principio, Weil utiliza el hecho de que cuando tienes un grupo topológico localmente compacto $G$ y un subgrupo localmente compacto $H$, además de las medidas de Haar en $G$ y $H$, existe una "medida de Haar" en el espacio de cocientes $G/H$, con algunas propiedades.
Por ejemplo, el semiplano superior $\mathbb H$ es el cociente $\operatorname{SL}_2(\mathbb R)/{\operatorname{SO}_2(\mathbb R)}$ y la medida usual allí que da lugar a la métrica hiperbólica usual, surge de esta manera.
Originalmente asumí este teorema y seguí adelante (pero no mucho) con ese libro.
Quiero tener una referencia para el teorema anterior. Una referencia que no esté escrita por Weil. Lo encuentro muy difícil de penetrar. Esto debería excluir la "Integración" de Bourbaki, ya que supongo que estaría muy influenciado por él, y por lo tanto es un libro horrible (nota para Harry: esta es una opinión personal; ahorra-me los ladrillazos).
Originalmente vi la construcción de la medida de Haar en H. en el "Análisis Real" de H. Royden, en el cual no está considerando ningún cociente.
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Esta es una total adivinanza porque no tengo el libro yo mismo, pero ¿has intentado con la Teoría de la Medida de Halmos? Tengo un vago recuerdo de que un antiguo compañero de oficina mío fue allí para aprender exactamente sobre lo que estás preguntando.
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Cuando $H$ es compacto, como en tu ejemplo (de hecho, para cualquier espacio homogéneo), ¿no podrías simplemente definir la medida en $G/H$ como la imagen directa? Si $q\colon G \to G/H$ es el cociente, para $A \subset G/H$ establece $\mu(A) = m(q^{-1}(A))$.
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@TomChurch: ¿Por qué la operación de empuje adelante requeriría compacidad?
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@AlexM. cuando $H$ es no compacto, la medida resultante podría ser infinita en todas partes. (Piensa en definir, de manera estúpida, $\mathbb{R}^1$ como el cociente de $\mathbb{R}^2$ por una acción de traslación. Si intentas definir una medida cociente en $\mathbb{R}^1$ al empujar hacia adelante la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^2$, será infinita para cada conjunto.)
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Dado que el mensaje personal ha cumplido su propósito (y su destinatario presumiblemente ha tomado cualquier acción que habría tomado como resultado), dado que parece que el resto del post no depende de ninguna manera crucial de él, y dado que no está en línea con la etiqueta actual de MO, ¿estarías dispuesto a eliminarlo?