¿Una cadena de Markov, representada por su matriz de transición, es siempre un operador positivo?
Sea $\mathfrak{A}$ una dimensión finita $C^*$ -álgebra. Entonces es isomorfa a una suma directa de álgebras matriciales completas $M_{n_i}(\mathbb{C})$ . Para simplificar, consideremos
$$\mathfrak{A} = M_n(\mathbb{C})$$
¿Es cierto, y por qué(eventualmente) que cualquier cadena de Markov $\Phi : \mathfrak{A} \rightarrow \mathfrak{A}$ (representado por su matriz de transición) es un operador positivo?(¿Es también completamente positivo?)
EDITAR: Considere la matriz 3x3 $$ \begin{bmatrix} a & b & 1-(a+b) \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ \end{bmatrix} $$
donde $0 < a < 1$ y $0 \le b\le 1$ .
¿Es este un mapa positivo de $\mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3$ ?
EDIT2:
En realidad es positiva, no me refiero a la matriz en sí, que no es positiva ya que $-1$ es un valor propio. Pero es positivo en el sentido de que preserva el cono de elementos positivos de $\mathbb{C}^3$ de hecho, tomando un elemento en el cono positivo se puede escribir como $$\begin{bmatrix}|\lambda_1|^2\\ |\lambda_2|^2\\ |\lambda_3|^2 \end{bmatrix}$$
y aplicando dicha transformación matricial a este vector devuelve un elemento de este tipo (para la segunda y tercera componentes es fácil).
Básicamente estaba haciendo confusión con el mapa en sí y $C^*$ -elemento de álgebra
