Tengo el siguiente conjunto:
$$Q = \{z\in \mathbb{C}: |z-z_0|+|z-z_i|<r\}$$
y debo demostrar que es conexo, donde la definición de conexo es la siguiente: para cada $2$ puntos del conjunto, podemos conectarlos con segmentos (no sé cómo traducirlo al castellano, pero aquí se llaman 'poligonales' que son segmentos conectados a la punta del otro). Primero debo visualizar este conjunto de puntos para tener una intuición sobre qué poligonal funcionará.
Sé que en los reales, esta es la ecuación de un cuadrado:
$$|x|+|y|<r$$
Puedo resolver para $y$ un desglose a $4$ casos, en los que cada solución dará una línea que es un lado de la quase. Pero, ¿cómo puedo hacerlo para números complejos? Por ejemplo, si aislo $|z-z_1|$ Lo entiendo:
$$|z-z_1|<r-|z-z_0|$$
pero cuando se trata de abrir los valores absolutos en casos, no puedo, porque los números complejos no tienen la noción de orden, así que no puedo usar $<$ y así. Yo también creo que será un cuadrado, pero no sé cómo probarlo.
Si supongo $z_0 = a_0+ib_0, z_1 = a_1+b_1i$ e $z = x+iy$
Termino con:
$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}+\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}<r$$
esto también parece difícil de tratar.
Entonces, ¿cómo encontrar el gráfico de esto, y cómo demostrar que es camino conectado?
