Si $a \lt b$ y $f,g \in R[a,b]$ satisfacer $f \leq g$ entonces $\int^b_af(x)dx \leq \int^b_ag(x)dx$

Question

Me piden que demuestre la propiedad de comparación para funciones reguladas, a saber :

Si $a \lt b$ y $f,g \in R[a,b]$ satisfacer $f \leq g$ entonces $\int^b_af(x)dx \leq \int^b_ag(x)dx$ .

La definición de función regulada es la siguiente:

Ahora, mi prueba es:

Sea $\phi_n,\psi_n \in S[a,b]$ sean secuencias de funciones escalonadas que convergen uniformemente a $f$ y $g$ respectivamente y $\phi_n \leq \psi_n \forall x \in [a,b]$ . Sea $P=\{p_0,...,p_k\}$ sea una partición compatible con $\phi_n$ y $\psi_n$ .

Entonces $\phi_n \leq \psi_n \Rightarrow f \leq g$ (Creo que $f \leq g \Rightarrow \phi_n \leq \psi_n$ y por lo tanto $\phi_n \leq \psi_n \Leftrightarrow f \leq g$ , ¿Verdad? )

Además, $\phi_n \leq \psi_n$

$\Leftrightarrow \sum^k_{i=1}\phi_n(p_i-p_{i-1}) \leq \sum^k_{i=1}\psi_n(p-p_{i-1})$

$\Leftrightarrow \text{lim}_{n \rightarrow \infty}\sum^k_{i=1}\phi_n(p_i-p_{i-1}) \leq \text{lim}_{n \rightarrow \infty} \sum^k_{i=1}\psi_n(p-p_{i-1})$

$\Leftrightarrow \int^b_a f(x)dx \leq \int^b_ag(x)dx$

¿Es correcta mi prueba?

Answer 1

En tu prueba no queda claro, por qué puedes elegir las funciones escalonadas $\phi_n$ y $\psi_n$ tal que $\phi_n \leq \psi_n$ ...

Así que aquí están mis sugerencias:

Proposición. Sea $a < b$ , $f, g \in R[a,b]$ satisfacer $f \leq g$ . Entonces: $$ \int_a^b f(x) \, \mathrm dx \leq \int_a^b g(x) \, \mathrm dx $$

Prueba. Sea $h := g - f$ . Dado que las funciones reguladas forman un espacio vectorial y $h \geq 0$ tenemos $$ h \in R[a,b] \quad \text{and} \quad 0 \leq h \; . $$ Ahora demostramos que $$ \int_a^b h(x) \, \mathrm dx \geq 0 \; . $$ Por cada $n \in \mathbb N^\times$ existe una función escalón $\varphi_n \in S[a,b]$ tal que $$ \Vert \varphi_n - h \Vert_\infty < \frac 1 n \; . $$ Eso implica $$ - \frac 1 n < \varphi_n(x) - h(x) < \frac 1 n \quad \text{for each } x \in [a,b] \; , $$ para que $$ h(x) -\frac 1 n < \varphi_n(x) \quad \text{for each } x \in [a,b] \; . $$ Desde $h \geq 0$ obtenemos $$ - \frac 1 n \leq h(x) - \frac 1 n < \varphi_n(x) $$ para cada $x \in [a,b]$ .

Si $P = \{p_0, \ldots, p_k\}$ es una partición compatible con $\varphi_n$ y $\varphi_{n,i}$ el valor de $\varphi_n$ en $(p_{i-1}, p_i)$ entonces $$ - \frac 1 n (p_i - p_{i-1}) \leq \varphi_{n,i} \cdot (p_i - p_{i-1}) \quad \text{for each } i \in {1,\ldots,k} \; . $$ Así que tomando la suma sobre $i = 1,\ldots,k$ da $$ -\frac 1 n \underbrace{\sum_{i=1}^k (p_i - p_{i-1})}_{=(b-a)} \leq \sum_{i=1}^k \varphi_{n,i} \cdot (p_i - p_{i-1}) =\int_a^b \varphi_n(x) \, \mathrm dx $$ Tomando el límite $n \to \infty$ obtenemos $$ 0 \leq \lim_{n \to \infty} \int_a^b \varphi_n(x) \, \mathrm dx = \int_a^b h(x) \, \mathrm dx \; . $$ Finalmente, por la linealidad de la integral, $$ 0 \leq \int_a^b g(x) - f(x) \, \mathrm dx = \int_a^b g(x) \, \mathrm dx - \int_a^b f(x) \, \mathrm dx \; , $$ es decir $$ \int_a^b f(x) \, \mathrm dx \leq \int_a^b g(x) \, \mathrm dx \; . $$

Answer 2

Como se señala en los comentarios, hay un problema porque $f\le g$ no implica $\phi_n \le \psi_n$ . Para corregirlo, introduzcamos un $\epsilon>0$ . Desde $\phi_n$ y $\psi_n$ convergen uniformemente a $f$ y $g$ respectivamente, existe $N\in \mathbb{N}$ tal que $||f-\phi_n|| < \epsilon$ y $||g-\psi_n|| < \epsilon$ para todos $n\ge N$ (donde las normas aquí son la norma sup). Por tanto, tenemos $f-\phi_n > -\epsilon$ y $g-\psi_n < \epsilon$ que puede reordenarse para ver que $\phi_n \le \psi_n + 2\epsilon$ .

En este punto, aplique el mismo argumento que utilizó en su respuesta para obtener $$ \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx + \int_a^b 2\epsilon dx = \int_a^b g(x) dx + 2(b-a)\epsilon $$ Desde $\epsilon$ puede ser arbitrariamente pequeño, se puede dejar que llegue a 0 y obtener la desigualdad deseada.

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En pocas palabras: $f\le g$ no implica necesariamente $\phi_n\le \psi_n$ pero implica $\phi_n$ es casi inferior o igual a $\psi_n$ .