Considere la serie $$ S_f = \sum_{x=1}^\infty \frac{f}{x^2+fx}. $$ Goldbach demostró que, para números enteros $f \ge 1$ , $$ S_f = 1 + \frac12 + \frac13 + \ldots + \frac1f $$ (esto se deduce fácilmente escribiendo $S_f$ como serie telescópica). Así, $S_f$ es racional para todos los números naturales $f \ge 1$ . Goldbach afirmaba que, para todos los números no integrales (racionales) $f$ , la suma $S_f$ sería irracional.
Euler demostró, mediante la sustitución $$ \frac1k = \int_0^1 x^{k-1} dx, $$ que $$ S_f = \int_0^1 \frac{1-x^f}{1-x} dx. $$ Evaluó esta integral para $f = \frac12$ y encontró que $S_{1/2} = 2(1 - \ln 2)$ (esto también se deduce fácilmente de serie de Goldbach para $S_f$ ). Así pues, la afirmación de Goldbach es válida para todos $f \equiv \frac12 \bmod 1$ desde $S_{f+1} = S_f + \frac1{f+1}$ .
Estas son mis preguntas:
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La irracionalidad de $\ln 2$ fue establecido por Lambert, que demostró que $e^r$ es irracional para todos los números racionales $r \ne 0$ . ¿Existen pruebas directas (sencillas)?
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¿La afirmación de Goldbach sobre la irracionalidad de $S_f$ para valores racionales no integrados de $f$ se han resuelto en otros casos?
