Los logaritmos irracionales y la serie armónica

Question

Considere la serie $$S_f = \sum_{x=1}^\infty \frac{f}{x^2+fx}.$$ Goldbach demostró que, para números enteros $f \ge 1$ , $$S_f = 1 + \frac12 + \frac13 + \ldots + \frac1f$$ (esto se deduce fácilmente escribiendo $S_f$ como serie telescópica). Así, $S_f$ es racional para todos los números naturales $f \ge 1$ . Goldbach afirmaba que, para todos los números no integrales (racionales) $f$ , la suma $S_f$ sería irracional.

Euler demostró, mediante la sustitución $$\frac1k = \int_0^1 x^{k-1} dx,$$ que $$S_f = \int_0^1 \frac{1-x^f}{1-x} dx.$$ Evaluó esta integral para $f = \frac12$ y encontró que $S_{1/2} = 2(1 - \ln 2)$ (esto también se deduce fácilmente de serie de Goldbach para $S_f$ ). Así pues, la afirmación de Goldbach es válida para todos $f \equiv \frac12 \bmod 1$ desde $S_{f+1} = S_f + \frac1{f+1}$ .

Estas son mis preguntas:

1. La irracionalidad de $\ln 2$ fue establecido por Lambert, que demostró que $e^r$ es irracional para todos los números racionales $r \ne 0$ . ¿Existen pruebas directas (sencillas)?

2. ¿La afirmación de Goldbach sobre la irracionalidad de $S_f$ para valores racionales no integrados de $f$ se han resuelto en otros casos?

Answer 1

Permítame que vuelva a poner mi pregunta en primer lugar convirtiendo mi comentario en una respuesta. Las observaciones de FC me llevaron al artículo "Transcendental values of the digamma function", J. Number Theory 125, nº 2, 298-318 (2007) de Ram Murty y N. Saradha, donde Thm. 9 afirma que los valores de S_f son trascendentes para números racionales 0 < f < 1. Pido disculpas por no haber formulado esta pregunta en 2006, por lo que sólo tengo una recompensa que ofrecer (y una referencia a FC de MO en OO de Euler).