Tal vez yo no ver lo obvio aquí; pero bien.
Miré a un viejo debate sobre el primer lagunas. Ahora me trató de hacer de alguna manera un camino opuesto:
Suponga que el conjunto de $\small P(m)$ de m números primos $\small \{p_1,p_2, \ldots,p_m\}$ . A continuación, considere la posibilidad de números naturales consecutivos a partir de un a b incluido, que son todos divisibles por al menos uno de los números primos en $ \small P(m)$. Vamos a llamar a un intervalo de números compuestos de $ \small P(m)$ "m_primegap" $ \small G_m(b)$ termina en b. ¿Cuánto tiempo puede un intervalo contiguo $\small G_m(b) = b+1-a $?
Primero pensé que esto es sencillo: basta con no más grande que $\small p_{m+1}-1$, debido a que el conjunto de los números primos cubre completamente la primera $p_{m+1}-1$ números y la cubierta esquema parece de alguna manera "óptima" distribuido/agotadora, pero eso no es cierto, que puede ser visto con los ejemplos en pequeñas cantidades.
Luego en la siguiente impresión de heurística es, que no podría sobrepasar $ \small 2 p_m$ - recordando que hay un primo entre n y 2n - pero pensando más acerca de esto que no me fío de que este es un argumento después de la primera, mucho más intuitiva idea, ya está equivocado. He programado un poco de la rutina en Pari/GP, pero la progresión de m_primegaps es demasiado lento y la necesidad enorme de un a buscar interesante m_primegaps.
Un par de pequeñas m y $ \small p_m$ deberá dar cierta impresión.
Para $ \small m=4$ ($ \small p_m=7$) tengo la siguiente tabla. Yo indexado para el límite superior b de la brecha en lugar de un aquí:
$ \small \qquad \begin{array} {rr} gap & b & \text {first occurence, ending at b)}\\ \hline 4 & 11 \\ 6 & 29 \\ 8 & 97 \\ 10 & 209 \\ ?? & ??? \end{array} $
y ya no es la brecha que $ \small 11-1=10$ parecen ocurrir. Para $ \small m=5,p_m=11$ tenemos un ejemplo de un 5_primegap de 14, que es más grande que $ \small 13-1=12$ pero no más grande la brecha parecen ocurrir. (Yo he utilizado un precalculadas lista de factores de n para la primera 1e7 números naturales):
$ \small \qquad \begin{array} {rr} gap & b \\ \hline 2 & 13 \\ 4 & 17 \\ 6 & 29 \\ 8 & 97 \\ 14 & 127 \\ ?? & ??? \end{array} $
Para $ \small p_m=23$ I get
$ \small \qquad \begin{array} {rr}
gap & b \\
\hline
6 & 29 \\
8 & 97 \\
14 & 127 \\
18 & 541 \\
28 & 1361 \\
34 & 60077 \\
?? & ???
\end{array} $
y para los números primos 67,71,79 tengo la siguiente tabla
$ \small \qquad \begin{array} {rr}
gap & b \\
\hline
2 & 73 \\
6 & 79 \\
8 & 97 \\
14 & 127 \\
18 & 541 \\
20 & 907 \\
22 & 1151 \\
34 & 1361 \\
36 & 18839 \\
48 & 28277 \\
50 & 132817 \\
54 & 395377 \\
64 & 524591 \\
?? & ???
\end{array} $
donde podemos ver, que el requisito para precalculadas prepara para la necesaria listas es más que adecuado para algunas inicial de la heurística. Algunos límite superior debe estar relacionado con el primorial-función para el prime $\small p_m$. Así que mi pregunta de nuevo: ¿hay un incondicional límite superior para la máxima m_primegap, y si, ¿qué es?
[actualización] una incondicional obligado para la longitud de una m_primegap debe ser dada por la observación, que la secuencia de m_primegaps es periódica con el primorial de $ \small p_m $ ; por lo que uno incondicional límite superior está dado por un número finito (bueno, tal enlazado no es muy eficiente...).
Lo que estoy finalmente, después es un argumento/una prueba de que m_primegaps de tamaño $ \small \gt p_{m+1}-1$ sólo puede ocurrir si $ \small b> p_m^2 $ (he estado un poco más precisos)
Si a alguien le gusta jugar: aquí es utilizable código en Pari/GP. Yo lo muestro aquí porque me pareció que es bastante trivial para evitar una excesiva necesidad de recursos
\\ la primefactors de los números n se calcula previamente el uso de la
\\ mayoría simple de primer tamiz método, donde la primefactors son
\\ codificado como bits de un número natural:
\\ un número n que contiene 3,5,7 como primer factores se codifica como 2^2+2^3+2^4
\\
\\ maxlimit de b es 2*1e6 (= longitud de la lista)
\\ maxlimit para p_m está dada por m=200
{ vn=vector(2000000,r,0);
para(k=1,200,
p1=primer(k);s1=2^(k-1);
forstep(j=p1,#vn,p1,vn[j]+=s1 );
); }
\\ devolver la lista de aumentar primegaps el uso de todos los números primos
\\ del primer p
{primegapMAX_p(p,maxn=#vn,maxl=10)=local en(a,s1,lista,j1,pn_1);
s1 = vn[p]*2; pn_1=0; \\ comandos nextprime(p+1)-1;
lista=vectorv(maxl);
j1=0;k0=0;
para(k=p,maxn, \\ ignorar m_primegap en 1; empieza por k=p
si(j1>=maxl,break());
si(vn[k] % s1 ==0, \\ no el primer lowerequal p_m está contenida en el número k
si(k0>pn_1,pn_1=k0;j1++; lista[j1]=[k0,k]);
k0=0);
k0++
);
lista = VE(lista,j1);
retorno(Mat(lista)); }
