Base que contiene una base para un subespacio

Question

Tengo este ejercicio y quiero saber si mi respuesta es correcta. El ejercicio es:

Consideremos el espacio lineal $\mathbb{R}^{2\times2}$ de $2\times2$ matrices con entradas reales. Consideremos $W$ contenidas en este espacio:

$$W = \{[a_{i,j}] \in \mathbb{R}^{2\times2}\mid a_{1,1} + a_{2,2} = 0\}$$

Calcular una base de $\mathbb{R}^{2\times2}$ que contiene una base de $W$

Así que mi duda está en la pregunta. ¿Quieren simplemente una base para $W$ ? Porque es fácil

$\left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right\}$

Pero mi duda es si esto es realmente lo que quieren porque refieren una base de $\mathbb{R}^{2\times2}$ y para eso deberíamos tener una cuarta matriz extra, ¿no?

¿Puede alguien aclarármelo?

Answer 1

Parece que te faltan algunas palabras:

Calcular una base de $\mathbb{R}^{2\times2}$ que contiene una base de $W$

es la formulación correcta.

Ha calculado correctamente una base para $W$ ; ahora un resultado general es que

si $\{v_1,\dots,v_m\}$ es un conjunto linealmente independiente en el espacio vectorial $V$ y $v\in V$ avec $v\notin\operatorname{Span}\{v_1,\dots,v_m\}$ entonces el conjunto $\{v_1,\dots,v_m,v\}$ es linealmente independiente.

Así que usted puede encontrar una matriz no en $W$ que es fácil, y añádelo al conjunto que has encontrado. El conjunto resultante tiene cuatro elementos y es linealmente independiente, por lo que es una base para $\mathbb{R}^{2\times2}$ (porque este espacio tiene dimensión $4$ ).

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En términos más generales, el lema del intercambio dice que si tienes un conjunto linealmente independiente $\{v_1,\dots,v_m\}$ y una base $\{w_1,\dots,w_n\}$ de un espacio vectorial, se puede sustituir $m$ vectores en la base con $v_1,\dots,v_m$ de modo que el conjunto resultante es de nuevo una base.

Answer 2

Utilice $\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)$ para completar un conjunto de 4 matrices linealmente independientes en $\Bbb R^{2\times2}$ .