¿Qué propiedades "debería" tener el espectro de un anillo no conmutativo?

Question

Ya se ha debatido mucho sobre la motivación del espectro primo de los anillos conmutativos. Desde mi punto de vista (que no es original), la importancia del espectro primo se debe a las siguientes razones.

1. $\text{Spec}(R)$ es el espectro mínimo que contiene $\text{Spec}_{\rm max}(R)$ que tiene una buena funtorialidad, lo que significa que la preimagen de un ideal primo sigue siendo un ideal primo.

2. si $p\in \text{Spec}(R)$ entonces $S_{p} = R-p$ es un conjunto multiplicativo. Entonces se puede localizar.

3. $S_{p}^{-1}R$ para $p\in \text{Spec}(R)$ es un anillo local (tiene un único ideal máximo, lo que equivale a tener una única clase de isomorfismo de módulos simples). El anillo local es fácil de tratar y el ideal máximo se puede describir explícitamente, es decir $m=S_p^{-1}p$

(Mi asesor me dijo que P.Cartier empujó a Grothendieck a construir maquinaria de geometría algebraica conmutativa basada en el espectro primo y las razones mencionadas anteriormente son las razones por las que utilizaron el espectro primo)

Razón adicional: uno puede tener buenas definiciones de espacio topológico y una estructura de gavilla en él de modo que uno puede recuperar este anillo conmutativo de nuevo como su sección global

Ahora, mi pregunta es para la gente que viene del mundo conmutativo, ¿qué otras propiedades ¿espera que tenga el espectro de un anillo no conmutativo?

Soy consciente de que la gente viene de diferentes ramas, puede haber varios tipos de anillo no conmutativo que surjan en su estudio. Por lo tanto, la pregunta para las personas que vienen de diferentes ramas de las matemáticas es que ¿qué tipo de anillo no conmutativo se encuentran y qué propiedades cree usted que el espectro de anillo no conmutativo debe tener para satisfacer su necesidad?

La principal motivación para hacer esta pregunta es que estoy aprendiendo geometría algebraica no conmutativa. En el trabajo de existencia de Rosenberg, hay varios tipos de espectro (al menos seis espectros diferentes) para diferentes propósitos y satisfacen las propiedades análogas (versión no conmutativa) que mencioné anteriormente y coinciden con el espectro primo cuando se impone la condición de conmutatividad. Me pregunto si este espectro satisface la otra exigencia razonable

Answer 1

No sé casi nada de anillos no conmutativos, pero he pensado un poco en lo que podría o debería ser el concepto general de espectro, así que me aventuraré a responder.

Otra propiedad que se le puede pedir es que tenga una buena descripción categórica. Explicaré lo que quiero decir.

El espectro de un anillo conmutativo puede describirse del siguiente modo. (Sólo describiré su conjunto subyacente, no su topología ni su gavilla de estructura.) Tenemos la categoría CRing de anillos conmutativos, y la subcategoría completa Campo de campos. Dado un anillo conmutativo $A$ obtenemos una nueva categoría $A/$ Campo un objeto es un campo $k$ junto con un homomorfismo $A \to k$ y un morfismo es un triángulo conmutativo. El conjunto de componentes conexos de esta categoría $A/$ Campo es $\mathrm{Spec} A$ .

Aquí hay una historia conceptual. Supongamos que pensamos en la topología algebraica. Los topólogos (excepto los topólogos "generales" o de "conjuntos de puntos") son partidarios de considerar los espacios desde el punto de vista del espacio euclídeo. Por ejemplo, una idea básica de la teoría de la homotopía es que se estudia un espacio observando las trayectorias que hay en él, es decir, los mapas de $[0, 1]$ a ella. Tenemos la categoría Top de todos los espacios topológicos, y la subcategoría Δ formado por los símplices topológicos estándar $\Delta^n$ y los distintos mapas de caras y degeneración entre ellos. Para cada espacio topológico $A$ obtenemos una nueva categoría Δ $/A$ en el que un objeto es un simplex en $A$ (es decir, un objeto $\Delta^n$ de Δ junto con un mapa $\Delta^n \to A$ ) y un morfismo es un triángulo conmutativo. Esta nueva categoría es básicamente el conjunto simplicial singular de $A$ ligeramente disimulado.

Hay algunas diferencias entre las dos situaciones: las direcciones se han invertido (por las razones habituales de dualidad álgebra/geometría), y en el caso topológico, tomar el conjunto de componentes conexos de la categoría no sería algo muy interesante. Pero la cuestión es la siguiente: en el caso topológico, la categoría Δ $/A$ encapsula

cómo $A$ desde el punto de vista de los símplices.

En el caso algebraico, la categoría $A/$ Campo encapsula

cómo $A$ desde el punto de vista de los campos.

$\mathrm{Spec} A$ es el conjunto de componentes conectados de esta categoría, y por lo tanto da información parcial sobre cómo $A$ desde el punto de vista de los campos.

Answer 2

Sé que esta pregunta es antigua y tiene una respuesta aceptada, pero este excelente documento de Manny Reyes ofrece algunas ideas más sobre posibles Spec para anillos no conmutativos.