$X_1, ..., X_n$ son i.i.d. y $E(|X_i|)$ es finito. Cómo demostrar que $(|X_1|+\cdots+|X_n|)/n$ converge a $E(|X_i|)$ en probabilidad?

Question

$X_1, \cdots, X_n$ son i.i.d. y $E(|X_i|)$ es finito.

Demuestra que $(|X_1|+\cdots+|X_n|)/n$ convergen a $E(|X_i|)$ en probabilidad y que $E((|X_1|+\cdots+|X_n|)/n)$ convergen a $E(|X_i|)$ .

Creo que esto puede necesitar funciones características o ley de los grandes números para resolver pero no sé cómo. ¿Alguien me puede dar alguna pista?

Answer 1

Si $\{X_i\}$ es una secuencia i.i.d de variables aleatorias, entonces también lo es $\{|X_i|\}$ . Ahora puede aplicar el ley débil de los grandes números a la secuencia $\{|X_i|\}$ .

Answer 2

La segunda mitad parece trivial.

$$ \mathbb{E}( (|X_1| + |X_2| + \dots) /n ) = \frac{1}{n}(\mathbb{E}(|X_1|)+\mathbb{E}(|X_2|)+\dots) = \mathbb{E}(|X_1|)$$

ya que están idénticamente distribuidos. (Ni siquiera necesitamos independencia).

Supongo que esto es convergencia, pero esto es sólo una secuencia constante.