Funcionales invariantes en C(R) y grupos amenizables

Question

Como parece que no se avanza en esta interesante cuestión, me he tomado la libertad de reformularla de un modo más fácil de entender. Además, mi respuesta muestra que la pregunta está relacionada con los grupos susceptibles. Por lo tanto, he cambiado el título para hacerlo más atractivo a los teóricos de grupos.

$C_b(\mathbb{R})$ resp. $C_0(\mathbb{R})$ son las funciones continuas $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que están acotadas o desaparecen en el infinito.

Pregunta: Dados dos homoeomorfismos $g_1,g_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y un funcional lineal continuo $L: C_b(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ con las siguientes propiedades:

1. La restricción de $L$ a $C_0(\mathbb{R})$ es cero
2. $L$ es invariante bajo $g_1,g_2$ es decir $L(f \circ g_i) = L(f)$ para todos $f \in C_b(X)$

¿Cuáles son las condiciones $g_1,g_2$ que hacen cumplir $L=0$ ?

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Formulación original:

Tengo la siguiente situación:

Sea $C_b(\mathbb R)=$ { $ f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R $ } es el subconjunto de $C(\mathbb R)$ que consiste en todas las funciones continuas acotadas con una norma $\|\cdot\|$ definido como $\|f\|_\infty=\sup\|f(x)\|$ .

Sea $C_0(\mathbb R)=$ { $ f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R $ } es el subconjunto de $C(\mathbb R)$ formado por funciones tales que para cada $ > 0$ existe un conjunto compacto $K\mathbb R$ tal que $|f(x)| < $ para todos $x \in \mathbb R\setminus K $ . Suele denominarse espacio de funciones que desaparecen en el infinito.

Hay dos homeomorfismos de la recta $g_1, g_2$ y un funcional continuo lineal positivo $l$ en $C_b(\mathbb R)$ que es invariante con respecto a $g_1, g_2$ . Además este funcional es permanente: $l([C_0(\mathbb R)])=0$ Así que $l$ es "concentrarse en el infinito".

A continuación, hacemos una compactificación Stone-ech del $\mathbb R $ designado como $\beta \mathbb R $ .

Después de la compactificación de Stone-ech de la recta, el homeomorfismo seguirá siendo un homeomorfismo y puedo demostrar que transferirá $\mathbb R$ a $\mathbb R$ y el resto $\mathbb R^* $ a $\mathbb R^* $ ( $\mathbb R^* = \beta\mathbb R\setminus\mathbb R $ ). Por el teorema de representación de Riesz, para nuestro funcional lineal (ya en $\beta\mathbb R$ y aún invariante) existe una única medida de Borel regular contablemente aditiva $\mu$ en $\beta\mathbb R$ . Puedo demostrar que esta medida será trivial cero en $\mathbb R$ . Necesito entender bajo qué condiciones en los homeomorfismos esta medida será trivial cero en $\mathbb R^* $ . Estaré muy agradecido por los enlaces sobre este problema.

ACTUALIZACIÓN [12.06.2012] Existe un resultado potencial: dejemos que $g_1, g_2\in Homeo_+(\mathbb R)$ . $g_1$ puede representarse como una línea $y=x+k$ donde $k>0$ y $g_2$ es tal que hay dos puntos $t_1,t_2$ para los que se cumplen las siguientes condiciones $ t_1 < t_2; g_2(t_1)=t_1; g_2(t_2)=t_2; g_2(t)>t$ (o $ g_2(t) < t $ ) para $t \in (t_1, t_2); g_1(t_1) \in (t_1, t_2); g_2(t)$ es una curva monótona creciente arbitraria para $ t\in (-\infty, t_1) \cup (t_2,+\infty) $ . También tenemos un grupo $G =< g_1,g_2 >$ con dos generadores.

Si $L$ es una función lineal continua, invariante bajo $g_1, g_2$ y $L$ fue "bajado" del grupo $G$ a la $\mathbb R$ y después de "bajar" parece ser permanente (la restricción de $L$ a $C_0(\mathbb R)$ es cero), entonces $L=0$ y el grupo $G$ no es aceptable.

La definición de "rebajar" funcional del grupo a $\mathbb R$ puede consultarse en la sección §3.1 del documento http://arxiv.org/abs/1112.1942 y la prueba de la afirmación es todo el documento. Este documento aún no se ha verificado.

Answer 1

Una condición necesaria es que el subgrupo de homoeomorfismos de $\mathbb{R}$ generado por $g_1,g_2$ no es aceptable.

Por ejemplo $g_1,g_2$ en el comentario del OP arriba, toma $$g_1(t) = t+2\hspace{140pt}$$ $$g_2(t)= g(t-2n) + 2n\;\;\; \text{ if }\;\;\; 2n \le t \le 2n+2$$ donde $g:[0,2] \to [0,2]$ es cualquier homeo. con $g(0)=0,g(2) =2$ . Entonces $g_1,g_2$ conmutar. Por lo tanto $\langle g_1,g_2\rangle$ es abeliano y por lo tanto amenable. Ahora aplica:

Si $G$ es un grupo susceptible de homeomorfismos de $\mathbb{R}$ existe una función continua $L$ con $L(1) = 1$ tal que $L|C_0(\mathbb{R})=0$ y $L(f \circ g)=L(f)$ para todos $g \in G$ .

Prueba: Supongamos $L_0: C_b(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ es un funcional contiguo con $L_0(1) = 1$ y $L_0|C_0(\mathbb{R}) = 0$ . Desde $G$ es susceptible, hay un finitamente aditiva $G$ -medida invariante $\mu$ con $\mu(G) = 1$ . Para cada $f \in C_b(\mathbb{R})$ la función $G \to \mathbb{R},\; g \mapsto L_0(f \circ g)$ está limitada. Por lo tanto, podemos definir $$L: C_b(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}; \; f \mapsto \int_G L_0(f \circ g)\; d\mu(g).$$ Es fácil ver que $L$ tiene las propiedades deseadas.

Para obtener $L_0$ deje $C_l(\mathbb{R})$ sea el espacio de las continuas continuas $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $\lim_{t \to +\infty}f(t)$ existe. Entonces $$L_0: C_l(\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\; f \mapsto \lim_{t \to +\infty}f(t)$$ es continua, lineal con $L_0|C_0(\mathbb{R}) = 0$ y $L_0(1)=1$ . Por último, dado que $C_l(\mathbb{R})$ es un subespacio cerrado de $C_b(\mathbb{R})$ , $L_0$ puede ampliarse continuamente a $C_b(\mathbb{R})$ por el teorema de Hahn-Banach.