¿Es cierta la afirmación inversa de la prueba de la primera derivada?

Question

La prueba de la primera derivada dice que si la derivada de una función es positiva/negativa en el intervalo abierto $(x-a,x)$ y negativo/positivo en el intervalo abierto $(x,x+b)$ donde ambos $a$ y $b$ son mayores que cero, entonces hay un máximo/minimo local en $x$ . ¿Es cierto lo contrario de esta afirmación?

Por ejemplo, si $x$ es un máximo local de la función $f(x)$ y si la función $f(x)$ es continua y diferenciable en $(a,b)$ donde $a < x < b$ entonces existe un intervalo a la izquierda de $x$ por pequeño que sea, en el que la función tiene pendiente positiva y un intervalo a la derecha de $x$ por pequeña que sea, en la que la función tiene pendiente negativa.

Answer 1

TL;DR: La respuesta es no, y ofrezco un contraejemplo. Véase el comentario de md2perpe sobre esta respuesta para más detalles.

Considera la función:

$f(x) = x^2(\sin(1/x)-1.5)$ para $x \neq 0$ y $f(0) = 0.$

Este es el aspecto del gráfico (de WolframAlpha)

 $f(x) = x^2(\sin(1/x)-1.5)$ ">

$$$$ Entonces:

$f(x) < 0 $ para todos $ x \neq 0$ porque $ x^2 > 0 \ \forall x \neq 0 $ y $\sin(1/x)-1.5 < 0 \ \forall x \neq 0$ . Por lo tanto, el origen es un máximo local (de hecho, global).

Utilizando el mismo método que en la respuesta principal a esta pregunta vemos que $f’(0) = 0.$

Además, para $x \neq 0,\ f’(x) = 2x(\sin(1/x) - 1.5) - \cos(1/x),\ $ que se define para todos los valores $x \neq 0.$

Por lo tanto $f’(x)$ es diferenciable para todo x en algún intervalo que contenga el máximo (el origen). (De hecho, vemos que $f(x)$ es diferenciable para todo x).

Sin embargo, acabamos de encontrar lo que la derivada de $f(x)$ es para $x \neq 0$ : $f’(x) = 2x(\sin(1/x) - 1.5) - \cos(1/x)$ que, como $x {\to} 0,\ $ tiende a $-\cos(1/x)$ por lo que oscila aproximadamente entre -1 y 1 (como $x {\to} 0$ ).

Si quiere saber de dónde surgió mi idea para esto, estoy algo familiarizado con el gráfico de $g(x) = x^2\sin(1/x)\ $ para $ x \neq 0 $ y $f(0) = 0.$

Consideré la posibilidad de "empujar los puntos" (distintos del origen) hacia abajo, justo por debajo de $y=0$ . He observado que $x^2\sin(1/x)$ sólo toca el gráfico de $ y=x^2$ en varios puntos (como $x {\to} 0$ ), así que primero consideré $x^2\sin(1/x) - x^2,\ $ que, por cierto, es lo mismo que $x^2(\sin(1/x) - 1),\ $ y esto habría sido suficiente si la pregunta no exigiera un máximo estricto. Así que para un máximo estricto, probé 1,5 en lugar de 1 y ¡voilá!.

Answer 2

Sí, es cierto.

Por la definición de un máximo local, si $f(k-h)<f(k)>f(k+h)$ para $h \to 0$ , $f(k)$ es un punto de máximos locales. De esta desigualdad se deduce que $\frac{f(k)-f(k-h)}h = f'(k^-)> 0 $ y $\frac{f(k+h)-f(k)}h = f'(k^+) < 0$ lo que demuestra que lo contrario es cierto. Una prueba similar también se puede derivar de un mínimo local.