¿Qué propiedades definen los loci abiertos en esquemas excelentes?

Question

Sea $R$ sea un anillo noetheriano excelente. Una propiedad $P$ se dice abra si el conjunto $\{q \in \operatorname{Spec}(R) \ | \ R_q \ \text{satisfies} \ (P)\}$ es Zariski abierto. Algunos ejemplos de propiedades abiertas son:

1. Regular (bien conocido), intersecciones completas, Gorenstein Cohen-Macaulay, el estado de Serre $(S_n)$ (Libro de Matsumura). Estos implican la apertura de otras propiedades, por ejemplo la normalidad, que significa $(R_1)$ y $(S_2)$ .

2. Factorial (para $R$ de característica $0$ ya que la prueba utiliza la resolución de singularidades). ACTUALIZACIÓN: en un reciente e interesante preimpresión el factorial y $\mathbb Q$ -para variedades sobre cualquier campo algebraicamente cerrado.

3. $\mathbb Q$ -Gorenstein, es decir, el módulo canónico es de torsión en el grupo de clase (no conozco una referencia conveniente, por favor proporcione si usted sabe una).

4. Ser una singularidad racional .

Mis preguntas son:

Pregunta 1 : ¿Conoce otra clase interesante de propiedades abiertas?

Pregunta 2 : ¿Existen buenas razones heurísticas para que una determinada propiedad esté abierta? Dicho de forma un poco más ambiciosa, ¿existen técnicas comunes para demostrar la apertura de cierta clase de propiedades?

Algunos comentarios: La excelente condición es bastante suave pero crucial . La pregunta 2 estaba motivada por otra pregunta mía.

Answer 1

Para dar una respuesta descaradamente trivial a su Pregunta 2 , yo diría que la cuestión suele ser que el fallo de estas propiedades está cerrado, a menudo de forma "evidente". También añadiría una propiedad auxiliar más, que actúa como meta propiedad para algunos de ellos:

Una gavilla coherente ser localmente libre es una propiedad abierta. Esto se deduce del lema de Nakayama.

Aquí tienes la lista. Las propiedades en el izquierda fallan a lo largo de los loci del derecha . [Advertencia: no he incluido las condiciones que a veces son necesarias, pero he pensado que se trata de una cuestión filosófica y, por tanto, la respuesta no tiene por qué formularse de la manera más precisa].

regular/liso -------------- conjunto cero del ideal jacobiano, también el lugar donde $\Omega_X$ no es localmente libre

Cohen-Macaulay , $S_n$ ----- soporte de poleas Ext adecuado

Gorenstein ------------------ {no CM} $\bigcup$ {CM pero $\omega_X$ no es un haz de líneas}

$\mathbb Q$ -Gorenstein --------------- $\bigcap_m$ { $\omega_X^{[m]}$ no es un haz de líneas}

singularidad racional --------- (en char $0$ ) $\bigcup_{i=1}^{\dim X}{\rm supp\,}R^i\phi_*\mathcal O_{\widetilde X}$ donde $\phi:\widetilde X\to X$ es una resolución.

klt singularidad ---------------- conjunto cero del ideal multiplicador.

La singularidad de Du Bois --------- $\bigcup_{i\neq 0} {\rm supp\,} h^i(\underline\Omega_X^0)\bigcup \,{\rm supp\,}{\rm coker\,}[\mathcal O_X\to h^0(\underline\Omega_X^0)]$

(semi)normalidad ------------ ${\rm supp\,}{\rm coker\,}[\mathcal O_X\to \pi_*\mathcal O_{Y}]$ donde $\pi:Y\to X$ es la (semi)normalización.

etcétera...

Answer 2

Largo,

Para el $\mathbb{Q}$ -Pregunta Gorenstein, yo tampoco conozco una referencia pero debería ser fácil, si $\omega_R^{(n)}$ es localmente libre en un punto, entonces es localmente libre en una vecindad de ese punto (por supuesto, probablemente estoy asumiendo normal o G1 + S2 para darle sentido a $\omega_R^{(n)}$ ).

Un par más que me vienen a la mente son los siguientes.

I. Seminormalidad / normalidad débil.

II. En $F$ -split en característica $p$ (al menos en el $F$ -caso definido, $F$ -finito es otro decente por sí solo). Por supuesto, todos los cantos del MMP (canónico, terminal, lc, klt, slc, racional, Du Bois, etc.) La mayoría de las singularidades de la teoría del cierre hermético (F-regularidad fuerte, F-pureza, F-injetividad, F-racionalidad, algunas de las cuales requieren de nuevo la $F$ -caso finito).

En cuanto a su segunda pregunta: La cosa común general que poseen prácticamente todas las clases de singularidad mencionadas anteriormente, que las hace abiertas, es la siguiente:

Casi todas estas singularidades se comprueban demostrando que un módulo concreto $M$ es isomorfo a $R$ ou $\omega_R$ . Alternativamente, que un módulo concreto sea cero. Por ejemplo, tanto las singularidades klt como las log canónicas pueden comprobarse de este modo (¿es el ideal multiplicador / ideal no lc igual a $R$ ). Esto también es válido en la característica $p$ mundo, aunque no es la forma habitual de plantear las cosas.

Por ejemplo $F$ -la regularidad puede comprobarse observando el ideal $$ J = \sum_{e \geq 0} \sum_{\phi} \phi(F^e_* cR) $$ donde $\phi$ recorre todos los elementos de $Hom_R(F^e_* R, R)$ y $c$ se elige de forma que $R_c$ es regular. Si este ideal es igual a $R$ entonces $R$ es fuertemente $F$ -regular.