Determinar dónde $g(z) := f(\overline{z})$ para $f \in \mathcal{O}(\mathbb{C})$ es holomorfo

Question

Sea $\mathcal{O}(D)$ denotan el conjunto de funciones holomorfas para $D \subseteq \mathbb{C}$ abierto.

Sea $f \in \mathcal{O}(\mathbb{C})$ y definir $g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ por $g(z) := f(\overline{z})$ . En qué puntos se $g$ ¿Holomórfico?

Utilicé el cálculo de Wirtinger. Tenemos $$\frac{\partial g}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial f(\overline{z})}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial \overline{z}}{\partial \overline{z}} + \frac{\partial g}{\partial \overline{w}}\frac{\partial z}{\partial \overline{z}} = \frac{\partial f}{\partial w}$$ Ahora que $g$ es holomorfa en un punto $z_0$ debemos tener que $$\frac{\partial f}{\partial w}(z_0) = 0$$ ¿Cómo debo proceder? ¿Puedo describir explícitamente el conjunto? ¿Hay alguna otra manera? También lo he probado con la otra caracterización, es decir, desde $f \in \mathcal{O}(\mathbb{C})$ tenemos para todos $z_0 \in \mathbb{C}$ una función $\varphi: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ que es continua en $z_0$ tal que $$f(z) = f(z_0) + \varphi(z)(z - z_0)$$ es válida para cualquier $z \in \mathbb{C}$ .

Answer 1

Gracias a J.R. lo he descubierto. Si $f$ es constante, entonces $g$ está claramente entero. Así que supongamos que $f$ no es constante y que $g$ es holomorfa en un punto $z_0$ . Por lo tanto $$\frac{\partial g}{\partial \overline{z}} = 0$$ en algún barrio $U$ de $z_0$ . Pero por la deducción anterior tenemos que $$\frac{\partial f}{\partial w} = f' = 0$$ en $\{ \overline{w} : w \in U\}$ . Desde $U$ es una vecindad de $z_0$ podemos encontrar $B_r(z_0) \subseteq U$ y así $f'$ desaparece en $\{\overline{w} : w \in B_r(z_0)\}$ . Como se trata de un dominio, tenemos que $f$ es constante allí y, por tanto, por el principio de identidad, $f$ es constante en $\mathbb{C}$ contradiciendo nuestra suposición. Por lo tanto $g$ no es holomorfa en ningún punto de $\mathbb{C}$ .