Determinar si los elementos se asignan a $\aleph_0$

Question

Consideremos las secuencias infinitas

$$A=\left\{\begin{array}{lcr} 1,\\2,2,\\3,3,3,\\4,4,4,4,\\\vdots\end{array}\right\}\qquad B=\left\{\begin{array}{lcr} 1,\\2,3,\\3,4,5,\\4,5,6,7,\\\vdots\end{array}\right\} \qquad C=\left\{\begin{array}{lcr} 1,\\2,1,\\3,2,1,\\4,3,2,1,\\\vdots\end{array}\right\}$$

$A$ se construye añadiendo $n$ copias de $n$ .

$B$ se construye contando hacia arriba desde $n$ a $2n-1$ .

$C$ se construye contando hacia atrás desde $n$ a $1$ .

Es evidente que las tres secuencias tienen el mismo número de elementos, es decir, infinitos. Sin embargo, si se pregunta cuántas veces $x$ aparece en una secuencia, se obtienen resultados diferentes: $x$ para $A$ , $\left\lceil{x/2}\right\rceil$ para $B$ e infinitas para $C$ .

En cierto sentido, entiendo por qué esto es; es bastante claro a partir de la inspección que $C$ aparecerán en cada fila consecutiva, mientras que los elementos de las otras dos secuencias desaparecen.

Tengo curiosidad por saber si existe una explicación más satisfactoria para lo que ocurre aquí, o una norma que cubra este comportamiento. Basándome únicamente en una descripción del tipo " $A$ permanece constante, $B$ cuenta hacia arriba, $C$ cuenta hacia abajo", nunca esperaría que uno de ellos tuviera propiedades tan salvajemente diferentes de los otros dos.

Answer 1

Creo que la forma más instructiva de enfocar esto sería geométricamente.

Dispone de tres funciones en $\mathbb Z\times \mathbb Z$ : $$ A(x,y) = y \qquad B(x,y) = -x+y \qquad C(x,y) = x+y $$ y ahora estás restringiendo cada uno de ellos a la "cuña" $\{ (x,y)\mid 0\le x<y \}$ . A continuación se pregunta por el número de soluciones a $f(x,y)=k$ dentro de esta cuña, para diferentes $k$ .

Por álgebra básica sabemos que las soluciones a una ecuación de esta forma son a línea en el avión. Así que nos interesa saber por cuántos puntos enteros de nuestra cuña pasa cada una de esas líneas.

Podemos encontrar el dirección de las líneas de solución fácilmente a partir de los coeficientes: Para $A$ son horizontales; para $B$ se inclinan $45^\circ$ hacia arriba (hacia arriba porque nuestro $y$ crece hacia abajo), y para $C$ se inclinan hacia abajo.

Geométricamente podemos ver que las líneas en $A$ y $B$ intersecan ambos lados de la cuña, por lo que cada línea tiene una longitud finita dentro de la cuña y sólo puede tener un número finito de puntos enteros.

Sin embargo, las líneas en $C$ son en paralelo a uno de los lados de la cuña, por lo que si algún punto de la recta está dentro de la cuña, todo un rayo infinito lo estará. Como la pendiente es racional, esto significa que cada entero punto de esta semirrecta tendrá una secuencia infinita de puntos enteros más abajo en la semirrecta.