Definición de multiplicación matriz-vector

Question

Acabo de aprender a multiplicar matrices y vectores. ¿Existe alguna razón en particular por la que multiplicamos una matriz por un vector columna en lugar de por un vector fila?

Por ejemplo $Ax = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x1\\x2\end{bmatrix}$

Básicamente está haciendo ax1+bx2 / cx1+dx2, ¿por qué no usamos un vector fila aquí? Me parece que multiplicar una matriz por un vector fila es más intuitivo.

Editar He encontrado esto y creo que resuelve mi pregunta de por qué la multiplicación se define de esa manera https://math.stackexchange.com/a/271937/231821

Answer 1

Ya se ha señalado que usted puede multiplicar un vector fila y una matriz. De hecho, la única diferencia entre las dos multiplicaciones a continuación es que los valores numéricos del primer resultado se apilan en un vector columna mientras que los mismos valores numéricos se apilan en un vector fila en el segundo resultado:

$$\pmatrix{6& -7& 10 & 1 \\ 0& 3& -1 & 4 \\ 0& 5& -7 & 5 \\ 4&1&0&-2} \pmatrix{2\\-2\\-1\\1} = \pmatrix{17\\-1\\2\\4}$$

$$ \pmatrix{2 &-2&-1&1} \pmatrix{6& 0&0&4\\-7& 3&5&1\\10 & -1&-7&0\\1 & 4 & 5&-2} = \pmatrix{17&-1&2&4}$$

Una simple diferencia pragmática entre estas dos ecuaciones es que el segunda es mucho más amplia cuando se escribe completamente.

Me parece que la primera ecuación "encaja" mejor en la página porque ya nos hemos comprometido a hacer una ecuación que tiene cuatro filas de alto (debido a la $4\times4$ es inevitable), así que no hay "coste" en hacer también los vectores de cuatro filas de alto; y a cambio obtenemos vectores que sólo tienen una columna de ancho en lugar de cuatro columnas cada uno. Ahora imaginemos que las dimensiones de la matriz fueran $6\times6$ ; la multiplicación por un vector columna todavía encajaría perfectamente en esta página, pero podríamos tener algunas dificultades con la multiplicación que utiliza vectores fila; podría no caber dentro de los márgenes de esta columna de texto.

También es posible que la convención esté influenciada por el interpretación de la matriz como una transformación que se aplica a al vector, junto con una preferencia por escribir los nombres de transformaciones a la izquierda de lo que transforman (del mismo modo que nos gusta escribir el nombre de una función a la izquierda de la palabra parámetros de entrada de una función, es decir, $f(x) = x^2$ en lugar de $(x)f = x^2$ ). Pero no estoy seguro de que haya una razón más convincente detrás de esta que no sea la fuerza colectiva de la costumbre, y estos patrones no son universales; a veces la gente escriben el nombre de la transformación a la derecha.

Answer 2

Realmente no hay ninguna diferencia entre multiplicar una matriz por un vector columna (a la derecha) $$\pmatrix{a & b \\ c & d}\pmatrix{x \\ y} = \pmatrix{ax + by \\ cx+dy}\tag{1}$$ frente a multiplicar el transpuesto de esa matriz por un vector de filas (a la izquierda) $$\pmatrix{x & y}\pmatrix{a & c \\ b & d} = \pmatrix{ax + by & cx+dy}\tag{2}$$

Observa que obtenemos los mismos componentes de cualquier forma. Pero está claro que queremos algunos convención -- la mitad de nosotros haciéndolo de una manera y la otra mitad haciéndolo de la otra podría ser ligeramente confuso. Así que, de forma un tanto arbitraria, nosotros (la comunidad de matemáticos) elegimos $(1)$ (en su mayor parte).

Answer 3

La multiplicación de la matriz $A=\left(\begin{array}{cc} a& b\\ c & d\end{array}\right)$ por el vector $\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)$ representa el mapa lineal

$$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, \left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c} ax+by\\ cx+dy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a& b\\ c & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x\\ y\end{array}\right).$$ También se puede escribir como

$$\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2, (x,y)\to (ax+by,cx+dy)=(x,y)\left(\begin{array}{cc} a & c\\ b & d\end{array}\right).$$