Prueba por inducción ayuda. Parece que estoy atascado y mi álgebra es un poco oxidado

Question

Atascado en una pregunta de deberes con inducción matemática, necesito ayuda para factorizar y me estoy atascando.

$\displaystyle \sum_{1 \le j \le n} j^3 = \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2$

La parte de la inducción lo es: $\displaystyle \left[\frac{k(k+1)}{2}\right]^2 +(k+1)^3$ es donde estoy teniendo un problema.

Si me pudieras dar alguna pista de por donde ir ya que me sigo atascando o escribiendo mal la ecuación.

Llegaré a $\displaystyle \left[{k^2+2k\over2}\right]^2 + 2{(k+1)^3\over2}$

Cualquier empujón en la dirección correcta será apreciado.

Answer 1

$(\frac{k(k+1)}{2})^2+(k+1)^3$

$=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)(k+1)^2$

$=\frac{(k+1)^2}{4}(k^2+4k+4)$

$=\frac{(k+1)^2}{4}(k+2)^2$

Answer 2

Supongo que quieres decir que estás tratando de demostrar que $$1^3+\dots+k^3=\left[\frac{k(k+1)}2\right]^2,\tag{1}$$ ya que de lo contrario, no tiene sentido. Para el paso de inducción, estás suponiendo que $(1)$ es válida para $k$ y desea demostrar que $$1^3+\dots+k^3+(k+1)^3=\left[\frac{(k+1)(k+2)}2\right]^2.$$ Por $(1)$ basta con demostrar que $$\left[\frac{k(k+1)}2\right]^2+(k+1)^3=\left[\frac{(k+1)(k+2)}2\right]^2,$$ o, lo que es lo mismo, que $$(k+1)^3=\left[\frac{(k+1)(k+2)}2\right]^2-\left[\frac{k(k+1)}2\right]^2.\tag{2}$$

Sugerencia : $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ le permitirá reescribir el lado derecho de $(2)$ de una forma más agradable, sin tener que pasar por tantas multiplicaciones polinómicas.

Answer 3

$$\begin{align} \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)(k+1)^2}{4}\\ =\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}\\ =\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}\\ =\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2\\ \end{align}$$

Answer 4

Lo has hecho: $$ \begin{align*} \left[ \frac{n (n + 1)}{2} \right]^2 + (n + 1)^3 &= \frac{n^2 (n + 1)^2 + 4 (n + 1)^2 (n + 1)}{4} \\ &= \frac{(n^2 + 4 (n + 1)) (n + 1)^2}{4} \\ &= \frac{(n^2 + 4 n + 4) (n + 1)^2}{4} \\ &= \frac{(n + 2)^2 (n + 1)^2}{4} \\ &= \left[\frac{(n + 1) (n + 2)}{2} \right]^2 \end{align*} $$