Bien, esbozaré aquí algunos pasos importantes para relacionar la representación espinor de $D_n$ a la representación vectorial.
Para $E_8$ la representación adjunta 248 puede escribirse en términos de la representación espinorial de quiralidad positiva 128 de SO(16) y la representación adjunta 120 de SO(16) como, $248=120+128$
Ahora realizar el trazado en la representación 120 se puede realizar utilizando la propiedad de factorización del carácter de Chern que pregunté anteriormente. El resultado que relaciona la traza en la representación adjunta con la representación fundamental se lee,
$Tr(e^{iF})= \frac{1}{2}(tre^{iF})^2-\frac{1}{2}(tre^{2iF})$
Ahora tenemos que evaluar la traza en la representación 128 y relacionarla con la representación fundamental , para poder comparar la relación entre $TrF^4$ ( adjunto de $E_8$ ) y $TrF^2$ y $Tr F^6$ a $TrF^2$ . Estos pueden relacionarse porque los tensores invariantes independientes de E_8 son 2,8, 12 y así sucesivamente( ver ref.1). Ahora hay que obtener la relación entre la representación espinor 128 y la representación fundamental. De la referencia (1) la fórmula relevante es 65 y 66.
Ahora $X_r$ es aquí un polinomio de orden 8 y, por tanto, podemos despreciar el segundo término para nuestros propósitos, es decir, hasta el orden $TrF^6$ .( $B_{2n}$ son números de Bernoulli) Ahora poniendo $r=8, B_2=1/6$ y $B_4=-1/30$ y escribiendo el lado izquierdo como $Tre^{F}$ (en representación 128) , y haciendo la expansión podemos juntar término comparando las potencias. Uno obtendrá haciendo esto
$TrF^2= 16trF^2$ y $TrF^4= 6(trF^2)^2-8trF^4$ que son los que precisamente se necesitan. Sumando los resultados de 128 y 120 en términos de representación fundamental se obtiene inmediatamente $TrF^4= 6(trF^2)^2-8trF^4+8trF^4+3(trF^2)^2=9(trF^2)^2$ y $TrF^2=16 trF^2+14 trF^2=30 trF^2$ . Está claro que tenemos relación,
$TrF^4= (TrF^2)^2/100$
Del mismo modo, al incluir una potencia y un valor próximos $ B_6$ podemos obtener la relación
$TrF^4= (TrF^2)^3/7200$
Que son necesarios.
Ahora cómo mostrar la equivalencia de la gran fórmula 65 y 66 que relaciona el espinor con la representación vectorial se puede encontrar en la ref. 2.
Ahora, para demostrar la equivalencia, hay que observar que $F/2\pi$ en representación fundamental puede diagonalizarse con valores propios $\pm iy_{\beta}$ ( ya que es una matriz antisimétrica), donde $\beta$ =1 .r, sin embargo en la representación del espinor sus valores propios son $1/2 (\pm iy_1,………..,\pm iy_r)$ , donde hay un número par o impar de signos menos, según la quiralidad positiva o negativa.
Esta forma de valores propios es el resultado de expresar el conjunto conmutador máximo del generador en temas de sus pesos. No puedo poner mucho énfasis en ello aquí, para aquellos que estén interesados pueden consultar Polchinski Vol.2, capítulo 11 o/y Wybourne ' classical groups for physicist'. Ahora veamos la fórmula 3.11 de la referencia 2,
$Tre^{iF_s/2\pi}=2^{m-1}[\pi_{1}^{m}coshy_\beta/2 \pm \pi_{1}^{m}sinhy_\beta/2]$
. Para verificar que esta fórmula se cumple y no hay ningún término cruzado como sin.cos, tomamos el caso m=4 y elegimos la condición de un número impar de signo menos. La combinación posible que tenemos ahora es $( y_1,y_2,y_3, -y_4),(y_1,-y_2,y_3,y_4),(y_1,y_2,-y_3,y_4),(y_1,y_2,y_3,-y_4),(-y_1,-y_2,-y_3,y_4),(-y_1,-y_2,y_3,-y_4),(-y_1,y_2,-y_3,-y_4),(y_1,-y_2,-y_3,-y_4)$ eliminando el factor i/2, Ahora evaluamos $e^{iF_s/2\pi}$ primero podemos observar que $(y_1,y_2,y_3, -y_4)$ se completa con $(-y_1,-y_2,-y_3, y_4)$ y por lo tanto para otro término. Así tenemos términos como $e^{\frac{1}{2}( y_1+y_2+y_3 -y_4)}$ y $e^{-\frac{1}{2}( y_1+y_2+y_3 -y_4)}$ que pueden combinarse para obtener un término de tipo cosh. Lo mismo ocurre con las otras tres combinaciones.
Combinando todos los términos obtenemos,
$4[cosh(y_1-y_2)cosh(y_3+y_4)+ cosh(y_1+y_2)cosh(y_3-y_4)]$ evaluándolo da
$8[cosh(y_1/2)……cosh(y_4/2)- sinh(y_1/2)……sinh(y_4/2)]$ que es el resultado que se desprende del punto 3.11 de la referencia 2.
Incluso caso se puede verificar de la misma manera y cualquier otro orden.
Ahora podemos utilizar la expansión de taylor de $log cosh x$ que se puede encontrar en los libros que tratan de tablas matemáticas como la referencia 3 y llegar al primer término de 65 y 66 de la referencia 1.
El segundo término también puede escribirse de forma similar pero no igual e implica un término que es de orden $Tr(F^m)$ y superiores (referencia 2, ecuaciones 3.13 y 3.14). Sin embargo, este término no se utiliza en nuestro caso, por lo que omitimos su discusión.
Referencias-
1- Ritbergen,Schellekens, Vermaseren,Factores de teoría de grupos para diagramas de Feynman: hep-ph/9802376v1.
2- A.N. Schellekens y N.P. Warner, Nucl. Phys B287 (1987) 317 ( se puede encontrar en google scholar).
3- Libro de Gradshteyn, Ryzhik, Jeffrey sobre tablas matemáticas. (¡No tengo el nombre exacto del libro!).
