La Ecuación diferencial con un punto Singular/singularidad

Question

Este es un problema de mi problema de la hoja que no tengo idea de cómo hacer, porque nuestra profesora (en mi opinión) hizo un trabajo terrible de explicar. Yo realmente apreciaría si usted me podría ayudar a entender lo que está pasando aquí.

En la conferencia que hemos definido de la siguiente ecuación diferencial:

$$y'=\frac{G(x,y)}{F(x,y)}$$

Asumimos que el $F,G$ se desvanecen en el punto de $(x_0,y_0)$. Así que aproxima el comportamiento de los diferenciales. la ecuación en el punto de $(x_0,y_0)$ como:

$$y'=\frac{cx+dy}{ax+by}$$

(No tengo idea de por qué sólo podemos hacer eso). También, se define una matriz:

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$

A continuación, se aplicó una transformación lineal invertible:

$$\begin{pmatrix} \zeta \\ \eta\end{pmatrix}=D\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_{11} & d_{12} \\d_{21} &d_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=D^{-1}\begin{pmatrix} \zeta \\ \eta\end{pmatrix}$$

Nuestra profesora dijo algo acerca de los autovalores de a $A$ nos da información acerca de las soluciones.

¿Cómo puedo usar esta información para resolver el problema que he mencionado anteriormente. Me parece que me estoy perdiendo alguna información crucial

Alguien puede explicarme lo que estas matrices son? No veo la meta/pupose de todo este ejercicio. Es este un procedimiento matemático cuando se trata de singularidades?

Edit: En el caso de esta pregunta es incomprensible o es que falta algo de información/contexto por favor deje un comentario.

Edit: todavía estoy interesado en cualquiera de consejos/sugerencias que pueda tener. Gracias.

Answer 1

Los siguientes comentarios a tratar de explicar la filosofía detrás de este problema.

Viendo su ecuación diferencial puedo configurar una "concomitante" de primer orden de la educación a distancia para un vector de valores de la función $t\mapsto \bigl(x(t), \>y(t)\bigr)$ de un auxiliar de "tiempo" de la variable $t$, como sigue: $$\eqalign{\dot x&=x-Py\cr \dot y&=Px+Qy\cr}\tag{1}$$ Las soluciones de $t\mapsto \bigl(x(t), \>y(t)\bigr)$ de este sistema puede ser considerado como paramétrico representaciones de ciertas curvas de $\gamma$ $(x,y)$- plano. Si una curva está escrita como gráfica de una función de $f_\gamma: \>x\mapsto y(x)$ $$y'(x)={dy\over dx}={\dot y\over\dot x}={Px+Qy\over x-Py}\ ,$$ lo que muestra que $f_\gamma$ satisface la ecuación diferencial dada en el principio.

El de arriba sirve como una motivación para investigar el sistema lineal $(1)$ cuya matriz está dada por $$A=\left[\matrix{1 &-P \cr P &Q\cr}\right]\ .$$ Los sistemas de la especie $(1)$ son un primer paradigma en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Baste por el momento que la diagonalización de la matriz $A$ permite "separar las variables desconocidas": En las coordenadas $(\xi,\eta)$ correspondiente a la "eigenbasis" de $A$ el sistema de $(1)$ simplemente lee $$\dot\xi=\lambda_1\>\xi,\qquad \dot\eta=\lambda_2\>\eta$$ y tiene las soluciones $$\xi(t)=C_1 e^{\lambda_1 t},\qquad \eta(t)=C_2e^{\lambda_2 t}\ .$$

En el caso de su problema una cantidad no despreciable de cálculo de resultado, que no me atrevo a ir a por el momento.