Calcular $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{ax}}{x^b}$ using de l'Hospital

Question

Intento calcular $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{ax}}{x^b}$ donde a,b $>$ 0

Porque $\lim_{x \rightarrow +\infty} x^b=+\infty$ Puedo usar la Regla de los Hospitales. Entonces, $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^{ax}}{x^b}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{ae^{ax}}{bx^{b-1}}$ pero este nuevo límite no es útil. Así que después de algunos intentos me di cuenta de que, escribiendo $\frac{e^{ax}}{x^b}$ como $(\frac{e^{\frac{a}{b}x}}{x})^b$ podría ser prometedor

Así que ahora he intentado calcular $lim_{x \rightarrow \infty}\frac{e^{\frac{a}{b}x}}{x}=lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{a}{b}e^{\frac{a}{b}x}}{1}\rightarrow \infty$ (1)

Ahora, debido a $a^b>a$ para $a>1,b>1$ se puede argumentar que de (1) se deduce $lim_{x \rightarrow \infty}(\frac{e^{\frac{a}{b}x}}{x})^b=\infty$ para $b>1$

Mi pregunta es, cómo calcular este límite donde $0<b<1$

Answer 1

Utiliza la regla de L'Hopital $\lceil b \rceil$ veces para obtener $$\lim_{x\to\infty}C\frac{e^{ax}}{x^{b-\lceil b\rceil}}=0.$$

Answer 2

Llega hasta el infinito para todos $a$ y $b$ que sean mayores que $0$ . Esto se debe a que el exponencial crece más rápido que cualquier polinomio. Esto también es válido para $b\leq 1$ .

Answer 3

Enfoque alternativo.

Puede calcular $\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}$ calculando (en su lugar) $\lim_{x \to \infty} \log\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right].$

$$\log\left[\frac{e^{ax}}{e^{b\log x}}\right] = ax - b\log(x).\tag1$$

Irónicamente, usando la regla de L'Hopital, $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log(x)} = \infty.$

Por lo tanto, al evaluar el lado derecho de (1), es evidente que, independientemente de los valores de $a,b$ siempre que $a \neq 0$ entonces $ax$ es el término dominante, y la evaluación dependerá simplemente del signo (positivo o negativo) de $a$ .