Cálculo de la pendiente en una función implícita: ¿por qué intercambiando x e y no se obtiene la misma respuesta?

Question

La cuestión es $\frac{dy}{dx}$ si $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$

Así que asumieron $x$ = $a\cos^3\theta$ , $y$ = $a\sin^3\theta$

Y entonces, $\frac{dy}{dx}$ = $\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$ = $-\tan\theta$

Pero, si intercambiara los valores de $x$ y $y$ entonces, la respuesta sería $-\cot\theta$ . Entonces, ¿a qué se deben los diferentes valores de la pendiente? ¿Es correcta también la segunda respuesta?

Answer 1

Para $y=a\sin^3\theta,$ etc.

$$-\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\dfrac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$$

Para $y=a\cos^3\theta,$ etc.

$$-\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=-\dfrac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$$