Hallar la forma cerrada de una relación de recurrencia

Question

Tengo problemas para encontrar una forma cerrada para una relación de recurrencia geométrica en la que el término que se multiplica recursivamente es de la forma (x+a) en lugar de sólo (x).

Esta es la secuencia recursiva:

$a_{n} = 4a_{n-1} + 5$ para $n \geq 1$ con la condición inicial $a_{0} = 2$ .

Sé que en general la forma de resolver estos problemas es empezar escribiendo toda la aritmética para los primeros valores de $a_{n}$ partiendo de la condición inicial. Esto es lo que tengo:

$a_{0} = 2$

$a_{1} = 4 (2) + 5 \equiv ((2)(2)(2) + 5)$

$a_{2} = 4(4(2)+5)+5 \equiv (2)(2)((2)(2)(2)+5)+5$

$a_{3} = 4(4(4(2)+5)+5)+5 \equiv (2)(2)((2)(2)((2)(2)(2)+5)+5)+5$

$\ldots$ etc.

Así que en este punto es bastante claro para mí que

$a_{n} = 2^{2n + 1} + something$

Mi problema es averiguar cómo contabilizar todos esos 5. Sobre todo porque el primer 5 está siendo multiplicado por $2^{3}$ y todos los otros 5's están siendo multiplicados por $2^{2}$ .

Supuse algo así:

$a_{n} = 2^{2n+1} + 5(4^{n-1}) + 5^{n-1}$

$\ldots$ y los resultados fueron cercanos, pero no exactos.

¿Puede alguien ayudarme con el método correcto para resolver este tipo de problemas? Muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

Esta secuencia es una recursión afín de la forma $a_{n+1} = \lambda a_n + \mu$ con $\lambda=4\neq 1$ y $\mu=5$ . Su $n$ viene dado por $$a_n = \lambda^n (a_0 - \rho) +\rho \, ,$$ donde $\rho= \frac{\mu}{1-\lambda}$ . La fórmula del $n$ puede obtenerse fijando $b_n = a_{n+1}-a_n$ que es una sucesión geométrica con razón común $\lambda$ , $$ b_{n+1} = \underbrace{\lambda a_{n+1} + \mu}_{a_{n+2}} - \underbrace{(\lambda a_{n} + \mu)}_{a_{n+1}} = \lambda b_{n} \, , $$ y condición inicial $$b_0 = a_1 - a_0 = \left(\lambda - 1\right) a_{0} + \mu \, .$$ En $n$ ª legislatura $a_n$ se deduce de la serie telescópica \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1} b_k = a_n - a_0 = b_0 \frac{1-\lambda^n}{1-\lambda} \, . \end{aligned}

Answer 2

Usted tiene

\begin{aligned} a_n-4a_{n-1}&=5\\\\ 4a_{n-1}-4^2a_{n-2}&=5\cdot4\\\\ 4^2a_{n-2}-4^3a_{n-3}&=5\cdot4^2\\\vdots\\ 4^{n-1}a_1-4^na_0&=5\cdot4^{n-1} \end{aligned} así que $a_n-4^na_0=5\sum\limits_{k=0}^{n-1}4^k=5\cdot\dfrac{4^n-1}{3}$

Answer 3

Termina la distribución de los operarios:

$$\begin{array} {rll} % a_0 &= 2 \\ % a_1 &= 4\cdot 2 + 5 \\ % a_2 &= 4\cdot (4\cdot 2 + 5) + 5 &= 4^2\cdot 2 + 4\cdot 5 + 5 \\ % a_3 &= 4 \cdot (4^2\cdot 2 + 4\cdot 5 + 5) + 5 &= 4^3 \cdot 2 + 4^2\cdot 5 + 4 \cdot 5 + 5 \\ % a_4 &= 4 \cdot (4^3 \cdot 2 + 4^2\cdot 5 + 4 \cdot 5 + 5) + 5 &= 4^4 \cdot 2 + 4^3 \cdot 5 + 4^2\cdot 5 + 4 \cdot 5 + 5 \\ % \end{array}$$

¿Ves la serie geométrica? (Factorizar el 5)

Answer 4

Estas ecuaciones pueden resolverse mediante

• encontrar la solución general de la ecuación homogénea $a_n=4a_{n-1}$ ; obviamente $a_n=4^nc$ .

• encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea. Probemos con el valor constante $a$ y escribe

$$a=4a+5,$$

de ahí

$$a_n=a=-\frac53.$$

Por tanto, la solución general es

$$a_n=4^nc-\frac53.$$

Ahora si ponemos la condición inicial,

$$a_0=2=4^0c-\frac53$$ para que $c=\dfrac{11}3$ y

$$a_n=\frac{11\cdot4^n-5}3.$$

Answer 5

Pista:

Existe un método general para resolver tales recurrencias afines:

• Primera búsqueda de una solución constante $c$ : $\;c=4c+5\iff c=-\frac53$ .
• Realice la sustitución $v_n=u_n-c=u_n+\frac53$ . la relación de recurrencia pasa a ser $$v_n+c=4(v_{n-1}+c)+5\iff v_n=4v_{n-1}+3c+5=4v_{n-1}.$$ Por lo tanto $(v_n)$ es una sucesión geométrica con razón común $4$ .