Para $t$ fijo, el recuento es proporcional a $\lambda^n$ donde $\lambda = 2 \cos \frac\pi{2t+2}$ es el valor propio principal de la matriz de adyacencia del trayecto con $2t+1$ vértices. El vector propio todo positivo (Perron-Frobenius) correspondiente a $\lambda$ es
$$\bigg(\sin \frac{\pi}{2t+2}, \sin \frac{2\pi}{2t+2},\sin \frac{2\pi}{2t+2},\dots,sin \frac{(2t+1)\pi}{2t+2}\bigg).$$
Desde $-\lambda$ es también un valor propio, el comportamiento estable de la distribución de los puntos finales de las trayectorias que permanecen en $[-t,t]$ es una oscilación entre las entradas impar
$$\bigg(\sin \frac{\pi}{2t+2}, 0,\sin \frac{3\pi}{2t+2},0,\dots,\sin \frac{(2t-1)\pi}{2t+2},0,\sin \frac{(2t+1)\pi}{2t+2}\bigg).$$ e incluso entradas $$\bigg(0,\sin \frac{2\pi}{2t+2}, 0,\sin \frac{4\pi}{2t+2},0,\cdots ,0,\sin \frac{2t\pi}{2t+2},0\bigg).$$
El recuento exacto de rutas que permanecen en $[-t,t]$ es una suma de coeficientes binomiales con signo.
El número de rutas de $0$ a $i$ es 0 si $n \not \equiv i ~\mod 2$ y $n \choose (n\pm i)/2$ cuando $n \equiv i ~\mod 2$ .
El número de caminos que nunca salen $[-t,t]$ de $0$ a $i \in [-t,t]$ con $n \equiv i ~\mod 2$ es
$$ \sum_{j\in \mathbb Z} (-1)^j {n\choose (n +i)/2 + j(t+1)}$$
por el principio de reflexión aplicado al grupo de isometrías de $\mathbb R$ generada por la reflexión sobre $t+1$ y $-t-1$ .
Si se suman todos $i \in [-t,t]$ entonces cuando $n$ es par, se obtiene una suma con signo de coeficientes binomiales con $t+1$ signos positivos seguidos alternados con $t+1$ signos negativos seguidos. Si $n$ es impar, entonces se obtiene $t$ signos positivos seguidos, omita un término (dele un coeficiente de $0$ en lugar de $\pm 1$ ), entonces $t$ signos negativos seguidos, saltarse un término, etc.
Por ejemplo, para $n=100, t=2,$ el número de caminos es
$$ ... +{100\choose 43} + {100\choose 44} + {100 \choose 45} - {100 \choose 46} - {100 \choose 47} - {100\choose 48} + {100\choose 49} + {100 \choose 50} + {100\choose 51} - ...$$
Para $n=101, t=2,$ el número de caminos es
$$ ... +{101\choose 44} + {101\choose 45} - {101\choose 47} - {101 \choose 48} + {101\choose 50} + {101\choose 51} - {101\choose 53} - {101\choose 54} + ...$$
Se pueden sumar utilizando las técnicas de las respuestas a la pregunta Pregunta sobre la paridad de la distribución binomial .
Se puede decir mucho más cuando $t$ varía, pero las respuestas son más complicadas. En $t$ aumentando lentamente, ya que $c\sqrt[3]n$ hay tiempo suficiente para que la distribución se estabilice (para cada paridad) en un valor dado de $t$ ya que la relación entre las magnitudes de los dos mayores valores propios y las magnitudes de los dos siguientes es de aproximadamente $1+c/t^2$ y los vectores propios principales tienen un pequeño $L^1$ distancia para valores adyacentes de $t$ . Debe recoger un factor constante para cada transición. En otras palabras, el número de trayectorias cuando pasa al menos $n_t \gt c t^2$ pasos en un determinado $t$ debe ser
$$C \prod_{t \le t_{max}} (2 \cos \frac{\pi}{2t+2})^{n_t}$$
donde $C$ está entre algunas funciones $f_{lower}(t_{max}) \lt C \lt f_{upper}(t_{max})$ que no depende de los valores de $n_t$ . No creo que el $n_t \gt c t^2$ es aguda para este comportamiento. Algo como $n_t \gt c t^2/\log t$ también debería funcionar. La geometría de los vectores propios para valores adyacentes de $t$ le permite estimar $f_{lower}$ y $f_{upper}$ .
Para $t$ aumento más rápido, se producen comportamientos diferentes. Por la ley del logaritmo iterado, si $t$ aumenta a medida que $t(n) = \sqrt {(2-\epsilon) n \log\log n},$ caminos aleatorios violarán casi con toda seguridad la restricción. Creo que hay versiones precisas de la ley del logaritmo iterado que pueden indicarte cuándo una proporción positiva de caminos aleatorios no viola la restricción. Supongo que si $t(n) = \sqrt{(2+\epsilon) n \log\log n}$ entonces un porcentaje positivo de caminos aleatorios no violará la restricción.
